В равномерно заряженном шаре радиуса \(R\) вырезали сферическую полость радиуса \(r\), центр которой на расстоянии \(l\) от центра шара. Плотность \(\rho\). Найдите поле вдоль прямой, проходящей через оба центра. Докажите, что поле в полости однородно.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(\mathbf{x}\) — радиус-вектор от центра большого шара, \(\mathbf{l}\) — вектор из большого центра в центр полости. Поле большого шара (внутри него) \(\mathbf{E}_R=\rho\mathbf{x}/(3\varepsilon_0)\). Поле вычитаемого маленького (внутри него) \(\mathbf{E}_r=\rho(\mathbf{x}-\mathbf{l})/(3\varepsilon_0)\). В полости \[ \mathbf{E}=\mathbf{E}_R-\mathbf{E}_r=\frac{\rho\mathbf{l}}{3\varepsilon_0}=\mathrm{const}. \]
Это и есть доказательство однородности. Модуль \(E=\rho l/(3\varepsilon_0)\), направление — вдоль линии центров, от большого центра к полости, если \(\rho>0\).
Вдоль линии центров, \(x\) от центра большого:
до полости (\(0<x<l-r\)) — мы внутри большого, снаружи маленького: \[ E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Biggl[x-\frac{r^3}{(x-l)^2}\Biggr]; \] знак \(x-l<0\), удобнее писать \[ E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Biggl[x+\frac{r^3}{(l-x)^2}\Biggr]; \]
за полостью, ещё в большом (\(l+r<x<R\)): \[ E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Biggl[x-\frac{r^3}{(x-l)^2}\Biggr]; \]
вне большого (\(x>R\)): \[ E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\Biggl[\frac{R^3}{x^2}-\frac{r^3}{(x-l)^2}\Biggr]. \]
Линейность поля внутри однородного шара — ключ ко всем полостям. \(\mathbf{E}\propto\mathbf{r}\), разность двух таких полей есть константа, пропорциональная вектору между центрами. Поэтому поле в полости не просто «почти однородно» — оно строго однородно, без поправок.
Предел \(l=0\): полость в центре, \(\mathbf{l}=0\), поле нуль — симметрия. Предел \(r\to R\), \(l\to0\): тонкая оболочка, поля внутри нет. Если полость касается поверхности большого шара (\(l+r=R\)), однородное поле в ней всё ещё \(\rho l/(3\varepsilon_0)\), а снаружи уже обычный «дырявый» шар с падением \(1/x^2\).