а. При пересечении двух шаров радиуса \(R\), центры которых находятся на расстоянии \(l\) друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноимёнными электрическими зарядами. Объёмная плотность электрического заряда слева \(-\rho\), справа \(\rho\). Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряжённость этого поля.
б. Используя результаты задачи 6.2.14 а и применяя метод предельного перехода: \(l\to0\), \(\rho\to\infty\), \(l\rho=\mathrm{const}\), найдите распределение заряда на сфере радиуса \(R\), которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряжённости \(E\). Как связана с напряжённостью поля максимальная поверхностная плотность заряда?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. В линзе \(\mathbf{E}_+=\rho\mathbf{x}/(3\varepsilon_0)\), \(\mathbf{E}_-=-\rho(\mathbf{x}-\mathbf{l})/(3\varepsilon_0)\). Сумма \[ \mathbf{E}=\frac{\rho\mathbf{l}}{3\varepsilon_0}. \] Поле однородно, направлено вдоль линии центров, от плюса к минусу.
б. При малом \(l\) «полумесяцы» становятся тонкой поверхностной плёнкой. Толщина плёнки в точке с углом \(\alpha\) между радиусом и осью равна \(l\cos\alpha\). Поверхностная плотность \[ \sigma=\rho\cdot l\cos\alpha. \] Из пункта а) \(E=\rho l/(3\varepsilon_0)\), значит \(\rho l=3\varepsilon_0 E\) и \[ \sigma=3\varepsilon_0 E\cos\alpha,\qquad \sigma_{\max}=3\varepsilon_0 E. \]
Два шара противоположной плотности — это «плюс минус плюс»: в линзе пересечения оба вклада живут, и снова разность линейных полей даёт константу \(\rho\mathbf{l}/(3\varepsilon_0)\). Полумесяцы снаружи линзы — уже другая история: там живёт только один шар, поле неоднородно.
Предельный переход \(l\to0\), \(\rho l=\mathrm{const}\) превращает полумесяцы в поверхностную плёнку \(\sigma\propto\cos\alpha\). Ровно такая плёнка сидит на проводящей сфере во внешнем поле — только там она гасит поле внутри до нуля, а здесь «внешнего» нет, и внутри остаётся однородное \(E\). Одна и та же геометрия, разные граничные условия, разные роли \(\sigma\).