С помощью теоремы Гаусса докажите, что система электрически взаимодействующих частиц не может находиться в состоянии устойчивого равновесия.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть заряд \(q>0\) покоится в точке, где нет других зарядов. Для устойчивого равновесия при любом малом смещении сила \(q\mathbf{E}\) должна возвращать заряд назад. Значит, всюду на малой сфере вокруг точки равновесия поле \(\mathbf{E}\) направлено внутрь сферы, \[ \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}<0. \] По теореме Гаусса внутри есть отрицательный заряд. Но точка пустая — противоречие.
Для \(q<0\) минимум энергии был бы максимумом \(\varphi\), поток наружу, внутри положительный заряд — снова пустое место не годится.
Значит устойчивого равновесия системы точечных зарядов в пустом пространстве не существует. Это теорема Ирншоу. Равновесие возможно только на связях (шарик в трубе из 6.1.8, заряд у потолка полости из 6.1.14) или в седле, откуда можно свалиться в другую сторону.
Теорема Ирншоу — запрет на устойчивые кулоновы ловушки в пустоте. По той же причине (нулевой поток через любую маленькую сферу в пустоте) у потенциала в пустой области не бывает ни «ямок», ни «горбов» — только «сёдла». Заряд в седле по одной оси возвращается, по другой — улетает.
Обходы теоремы известны и все нарушают условие «пустое пространство»: диэлектрики, проводники, переменные поля (ловушка Пауля), магнитные поля на движущийся заряд, механические связи. Шарик в трубе из 6.1.8 устойчив именно потому, что труба — связь, она запрещает поперечный уход. В свободном пространстве тот же заряд между двумя другими улетел бы вбок.