а. Потенциал заряженного проводника 300 В. Какой минимальной скоростью должен обладать электрон, чтобы улететь с поверхности на бесконечность?
б. Протон на большом расстоянии от проводника имел скорость \(10^8\) см/с. Потенциал проводника \(-10\) СГС. Траектория заканчивается на поверхности. Какую скорость имел протон вблизи поверхности?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Потенциальная энергия заряда в точке с потенциалом \(\varphi\) равна \(W=q\varphi\). Вместе с кинетической она не меняется:
\[ \frac12 mv^2+q\varphi=\mathrm{const}. \] На бесконечности \(\varphi=0\) по условию выбора нуля.а. Электрон улетает с поверхности. Заряд электрона \(q=-e\), потенциал проводника \(300\) В. На поверхности энергия равна \(\tfrac12 m_ev^2-e\cdot300\). В пороге на бесконечности электрон останавливается, энергия нуль. Отсюда
\[ \frac12 m_ev^2=e\cdot300\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{2e\cdot300}{m_e}}. \] Удельный заряд электрона \(e/m_e=1{,}76\cdot10^{11}\) Кл/кг, поэтому \[ v=\sqrt{2\cdot1{,}76\cdot10^{11}\cdot300}=\sqrt{1{,}056\cdot10^{14}}=1{,}03\cdot10^7\ \text{м/с}. \] В ответах задачника это округлено до \(10^7\) м/с — разумно: табличное \(e/m\) само известно с тремя знаками.Знак заряда решает всё. Электрон отрицательный, проводник под плюсом — поле тянет его назад. Чтобы уйти на бесконечность, нужна кинетическая энергия не меньше \(e\varphi\). Если бы проводник был под минусом, электрон улетал бы сам, без начальной скорости.
б. Протон падает на проводник. Сначала переведём данные в СИ. Единица потенциала СГС в \(300\) раз больше вольта: \(-10\) СГС \(=-3000\) В. Скорость на бесконечности \(10^8\) см/с \(=10^6\) м/с.
Протон заряжен положительно, проводник под минусом — его втягивает. Закон сохранения между бесконечностью и поверхностью:
\[ \frac12 m_pv^2+e\cdot(-3000)=\frac12 m_pv_\infty^2, \] \[ v^2=v_\infty^2+\frac{2e\cdot3000}{m_p}. \] Удельный заряд протона \(e/m_p=9{,}6\cdot10^7\) Кл/кг, так что \(2e/m_p=1{,}92\cdot10^8\) и кулоновская добавка \[ \frac{2e\cdot3000}{m_p}=5{,}76\cdot10^{11}\ \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}. \] Квадрат начальной скорости \(v_\infty^2=10^{12}\), поэтому \[ v=\sqrt{10^{12}+5{,}76\cdot10^{11}}=\sqrt{1{,}576\cdot10^{12}}=1{,}25\cdot10^6\ \text{м/с}. \] Фраза «траектория заканчивается на поверхности» означает лишь, что протон долетел, а не промахнулся: для баланса энергии форма орбиты не важна.