а. Определите разность потенциалов между точками 1 и 2, если электрон в точке 1 имел скорость \(10^9\) см/с, в точке 2 — \(2\cdot10^9\) см/с. Чему была бы скорость в точке 2, если в точке 1 она нулевая?
б. В электронной лампе электроны ускоряются разностью потенциалов 220 В. Чему равна скорость на аноде?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле потенциально, поэтому \[ \frac12 mv_2^2-\frac12 mv_1^2=q(\varphi_1-\varphi_2). \] Для электрона \(q=-e\), и он разгоняется, только если летит в сторону меньшего потенциала (туда, где \(\varphi\) алгебраически меньше, то есть «под плюс»). Значит \(\varphi_1>\varphi_2\).
а. Переведём скорости в СИ: \(v_1=10^9\) см/с \(=10^7\) м/с, \(v_2=2\cdot10^9\) см/с \(=2\cdot10^7\) м/с. Тогда \[ \varphi_1-\varphi_2=\frac{m_e(v_2^2-v_1^2)}{2e}=\frac{v_2^2-v_1^2}{2(e/m_e)}. \] Подставляем \(e/m_e=1{,}76\cdot10^{11}\) Кл/кг и \(v_2^2-v_1^2=(4-1)\cdot10^{14}=3\cdot10^{14}\): \[ \varphi_1-\varphi_2=\frac{3\cdot10^{14}}{2\cdot1{,}76\cdot10^{11}}=\frac{3\cdot10^{14}}{3{,}52\cdot10^{11}}\approx850\ \text{В}. \] Если в точке 1 электрон покоился, та же разность потенциалов сообщает ему кинетическую энергию \(e\cdot850\). Это ровно \(m(v_2^2-v_1^2)/2\), то есть \[ v=\sqrt{v_2^2-v_1^2}=\sqrt{3}\cdot10^7\ \text{м/с}. \] Иначе: из \(v_1^2+v^2=v_2^2\) сразу видно теорему Пифагора для скоростей — кинетическая энергия складывается.
б. В лампе электрон стартует с катода почти от нуля и на аноде имеет \[ \frac12 m_ev^2=e\cdot220\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{2\cdot\frac{e}{m_e}\cdot220}. \] \[ v=\sqrt{2\cdot1{,}76\cdot10^{11}\cdot220}=\sqrt{7{,}74\cdot10^{13}}=8{,}8\cdot10^6\ \text{м/с}. \] Это типичная скорость электрона в старой радиолампе: около одного процента скорости света, нерелятивистская формула ещё честна.