а. С какой силой действует заряд \(q\) на равномерно заряженную бесконечную плоскость? С какой силой действует эта плоскость на заряд? Чему равна напряжённость поля плоскости? Плотность \(\sigma\).
б. С какой силой действует на каждую грань тетраэдра заряд \(q\), помещённый в его центре? Плотность граней \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Гауссова «таблетка» через плоскость даёт \(E=\sigma/(2\varepsilon_0)\) (поле в обе стороны от плоскости). Сила на заряд \[ F=qE=\frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}. \] Столько же — суммарная сила на плоскость. (Плоскость бесконечна, сила размазана, но интеграл конечен.)
б. Из центра правильного тетраэдра каждая грань видна под телесным углом \(\Omega=\pi\). По 6.2.3 поток на грань \[ \Phi=\frac{q\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{q}{4\varepsilon_0}. \] По 6.2.4 сила на грань \[ F=\sigma\Phi=\frac{\sigma q}{4\varepsilon_0}. \]
Третий закон здесь не нарушен, хотя поле плоскости однородно, а поле заряда — нет. Сила на заряд \(q\sigma/(2\varepsilon_0)\) конечна. Сила на плоскость — интеграл \(\sigma E_q\) по бесконечной площади: локально давление падает как \(1/r^2\), но интеграл сходится к той же величине. Бесконечность площади компенсируется убыванием поля.
Тетраэдр. Телесный угол грани из центра \(\pi\), не \(4\pi/4=\pi\) «случайно»: у правильного тетраэдра это именно так. Четыре силы на грани образуют замкнутый «пространственный ромб» и гасят друг друга — заряд в центре не ускоряется, как и обещано симметрией.