Используя теорему Гаусса, определите напряжённость поля:
а) внутри и вне равномерно заряженной сферы заряда \(Q\);
б) равномерно заряженной бесконечной нити, заряд единицы длины \(\rho\);
в) бесконечной плоскости плотности \(\sigma\);
г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса \(R\), плотность \(\rho\); нарисуйте график \(E(r)\);
д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса \(R\), плотность \(\rho\); график \(E(r)\);
е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины \(h\), плотность \(\rho\); график \(E(x)\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Сфера (заряд на поверхности). Внутри гауссовой сферы радиуса \(r<R\) заряда нет, \(E=0\). Снаружи весь \(Q\): \[ E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}. \]
б. Нить. Цилиндр радиуса \(r\), длины \(\ell\): поток только через бок \(E\cdot2\pi r\ell\), внутри заряд \(\rho\ell\): \[ E=\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}. \]
в. Плоскость. Таблетка, протыкающая плоскость: два торца, \(2ES=\sigma S/\varepsilon_0\), \[ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. \]
г. Шар. Внутри \(q_{\text{вн}}=\rho\cdot\tfrac43\pi r^3\), \[ E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\quad(r\le R);\qquad E=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\quad(r\ge R). \]
д. Цилиндр. Внутри \(q_{\text{вн}}=\rho\cdot\pi r^2\ell\), \[ E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\quad(r\le R);\qquad E=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}\quad(r\ge R). \]
е. Пластина толщины \(h\), \(x\) от середины. Таблетка толщины \(2x\) внутри: \[ E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\quad\bigl(|x|\le h/2\bigr);\qquad E=\frac{\rho h}{2\varepsilon_0}\quad\bigl(|x|\ge h/2\bigr). \]
Все шесть пунктов — один приём. Симметрия говорит, куда смотрит \(\mathbf{E}\) и от чего он зависит; гауссова поверхность выбирается так, чтобы \(E\) вынеслось. Сфера — для шара и сферы, цилиндр — для нити и цилиндра, таблетка — для плоскости и пластины. Других поверхностей в этой задаче нет.
Графики. У шара \(E(r)\) растёт линейно до \(R\) и падает как \(1/r^2\). У цилиндра — линейно до \(R\) и как \(1/r\). У пластины — линейно от середины до края и константа снаружи. Все три стыка непрерывны: поверхностного заряда на границе объёмного распределения нет, скачка \(E_n\) быть не должно.