Найдите распределение объёмной плотности заряда: а) в шаре радиуса \(R\) (поле \(E_0\) направлено вдоль радиуса и не меняется по модулю); б) в бесконечном цилиндре радиуса \(R\) (поле \(E_0\) вдоль радиуса, модуль постоянен).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Шар. Поток через сферу радиуса \(r\) есть \(4\pi r^2 E_0=q(r)/\varepsilon_0\), поэтому \(q(r)=4\pi\varepsilon_0 E_0 r^2\). Плотность — производная заряда по объёму: \[ \rho=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dq}{dr}=\frac{2\varepsilon_0 E_0}{r}. \]
б. Цилиндр. На единицу длины \(2\pi r E_0=\lambda(r)/\varepsilon_0\), \(\lambda=2\pi\varepsilon_0 E_0 r\), \[ \rho=\frac{1}{2\pi r}\frac{d\lambda}{dr}=\frac{\varepsilon_0 E_0}{r}. \]
Обратная задача Гаусса: поле известно, ищем \(\rho\). Поток фиксирует заряд внутри, плотность — это \(dq/dV\). Для шара \(q(r)\propto r^2\), объём \(\propto r^3\), значит \(\rho\propto1/r\). Для цилиндра заряд на единицу длины \(\propto r\), сечение \(\propto r^2\), снова \(\rho\propto1/r\).
Расходимость на оси — плата за идеальное «\(E=\mathrm{const}\) вплоть до нуля». В реальном шаре поле в центре обязано быть нулём по симметрии, если плотность конечна. Значит, модель \(E=E_0\) внутри всего шара физична только вне маленькой сердцевины, где плотность срезана.