С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? тетраэдра? Плотность \(\sigma\), ребро \(l\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Куб. Чуть больший куб охватывает заряд \(6\sigma l^2\), полный поток \(6\sigma l^2/\varepsilon_0\), на одну грань \(\Phi'=\sigma l^2/\varepsilon_0\). Из него половина — собственное поле грани \(\sigma l^2/(2\varepsilon_0)\). Чужой поток \(\sigma l^2/(2\varepsilon_0)\), сила \[ F=\sigma\cdot\frac{\sigma l^2}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma^2 l^2}{2\varepsilon_0}. \]
Тетраэдр. Площадь грани \(S=l^2\sqrt{3}/4\), полный заряд \(Q=4\sigma S=\sigma l^2\sqrt{3}\). Поток через большую поверхность \(Q/\varepsilon_0\), на одну грань \(\Phi'=Q/(4\varepsilon_0)=\sigma l^2\sqrt{3}/(4\varepsilon_0)\). Собственный вклад \(\sigma S/(2\varepsilon_0)=\sigma l^2\sqrt{3}/(8\varepsilon_0)\). Чужой поток столько же, сила \[ F=\frac{\sqrt{3}\,\sigma^2 l^2}{8\varepsilon_0}. \]
Собственное поле грани вычитаем обязательно: иначе грань «давит сама на себя». Гаусс на чуть большей поверхности даёт полный поток, половина его — своё \(\sigma/(2\varepsilon_0)\), половина — чужие грани. У куба чужой поток \(\sigma l^2/(2\varepsilon_0)\), у тетраэдра — \(\sigma S/(2\varepsilon_0)\). Дальше только умножить на \(\sigma\).
Отношение сил куб/тетраэдр: \(F_k/F_t=(1/2)/(\sqrt{3}/8)=4/\sqrt{3}\approx2{,}3\). Куб расталкивается сильнее: противоположные грани смотрят друг на друга «в лоб», как обкладки конденсатора, а у тетраэдра все грани под тупым углом. Размерность \(\sigma^2 l^2/\varepsilon_0\) — ньютоны в обеих геометриях.