а. Докажите, что внешнее поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности.
б. Проводящий эллипсоид получен из сферы сжатием в одном направлении в \(n\) раз. Большая полуось \(R\), заряд \(Q\). Найдите максимальную и минимальную напряжённость у поверхности.
в. Максимальная напряжённость у длинного провода эллиптического сечения. Малая полуось \(b\), линейная плотность \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Поле снаружи перпендикулярно поверхности. В 6.1.20а мы сжали равномерно заряженную сферу в эллипсоид и доказали, что внутри по-прежнему \(\mathbf{E}=0\). Но \(\mathbf{E}=0\) во всей внутренней области означает, что потенциал там постоянен. По непрерывности потенциал постоянен и на самой поверхности: она эквипотенциаль. А поле всегда перпендикулярно эквипотенциальной поверхности: будь у \(\mathbf{E}\) касательная составляющая, перенос заряда вдоль поверхности давал бы работу и потенциал менялся бы вдоль неё. Значит внешнее поле подходит к эллипсоиду по нормали — в точности как к проводнику. (Поэтому такой эллипсоид с «приклеенным» зарядом электростатически неотличим от проводящего: заряды и так сидят правильно.)
б. Максимум и минимум \(E\). Исходная сфера радиуса \(R\) несла заряд \(Q\) равномерно, у поверхности \(E_0=Q/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\) всюду. Сожмём её вдоль одной оси в \(n\) раз. Большая полуось остаётся \(R\) (несжатые направления), малая становится \(R/n\): получается сплюснутый эллипсоид, «блин».
При аффинном сжатии вдоль оси \(z\) компонента \(E_z\) умножается на \(n\), поперечные компоненты не меняются. На экваторе (острый обод блина) поле было поперечным — оно вырастает в \(n\) раз: \[ E_{\max}=n\cdot\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}. \] На полюсах (плоские «щёки») поле было вдоль оси сжатия, но после сжатия геометрический фактор компенсируется так, что \[ E_{\min}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}. \] Это же видно из точной формулы для проводящего эллипсоида: \(E=Q/(4\pi\varepsilon_0 bc)\) на конце полуоси \(a\), и циклически. У нас полуоси \(R,\,R,\,R/n\), поэтому на экваторе \(E=Q/(4\pi\varepsilon_0\cdot R\cdot R/n)=nQ/(4\pi\varepsilon_0 R^2)\), на полюсе \(E=Q/(4\pi\varepsilon_0 R\cdot R)\).
Оба поля направлены наружу (заряд \(Q>0\)). «Остриё» — это обод, там кривизна больше, заряд гуще, поле сильнее. Это общее правило: молния бьёт в остриё.
в. Длинный провод эллиптического сечения. Круглый цилиндр с линейной плотностью \(\rho\) даёт у поверхности \(E=\rho/(2\pi\varepsilon_0 a)\). Сожмём сечение, пока малая полуось не станет \(b\). Та же логика: максимум поля — у острых краёв, и в формулу вместо радиуса встаёт малая полуось, \[ E_{\max}=\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 b}. \] (Точная формула эллиптического цилиндра: на конце полуоси \(a\) поле равно \(\rho/(2\pi\varepsilon_0 b)\), на конце \(b\) — \(\rho/(2\pi\varepsilon_0 a)\). Максимум там, где полуось меньше.)