Используя теорему Гаусса, докажите, что объёмная плотность заряда внутри проводника равна нулю и что \(\sigma\) связана с полем вблизи поверхности соотношением \(E=\sigma/\varepsilon_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Объёмная плотность. Возьмём внутри проводника произвольную область и охватим её замкнутой поверхностью, целиком лежащей в толще. На этой поверхности \(\mathbf{E}=0\), поэтому поток нуль. По теореме Гаусса \[ \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{q_{\text{вн}}}{\varepsilon_0}=0\qquad\Rightarrow\qquad q_{\text{вн}}=0. \] Область любая — значит в каждом кусочке толщи заряд нуль, объёмная плотность \(\rho=0\). Весь лишний заряд проводника сидит на поверхности.
То же верно и при наличии полости: если внутри полости нет «чужого» заряда, на поверхности полости заряд тоже нуль (гауссова поверхность в металле вокруг полости). Если в полости есть заряд \(Q\), на стенке полости индуцируется \(-Q\).
Поле у поверхности. Построим маленькую «таблетку» (цилиндр), один торец которой лежит в металле, другой — сразу снаружи, а боковая поверхность перпендикулярна границе. Площадь торца \(S\), на ней заряд \(\sigma S\).
Поток через внутренний торец нуль (\(\mathbf{E}=0\)). Поток через бок нуль: либо поле по нормали к поверхности проводника и значит вдоль бока, либо бок бесконечно короткий. Остаётся внешний торец: \[ E_\perp S=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}. \] Направление: от поверхности, если \(\sigma>0\). Важно: это \(\sigma/\varepsilon_0\), а не \(\sigma/(2\varepsilon_0)\). Формула \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) относится к одиночной тонкой плёнке в вакууме, у которой поле есть с обеих сторон. Проводник «выключает» поле с одной стороны, и всё поле собирается снаружи.