Почему электрическое поле внутри проводника равно нулю? Почему на поверхности оно перпендикулярно к ней? Достаточно ли этих условий, чтобы потенциал во всех точках проводника был одинаков?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему \(\mathbf{E}=0\) внутри. В металле есть свободные электроны. Если в какой-то точке толщи осталось поле, на электрон действует сила \(-e\mathbf{E}\), и начинается ток. Ток несёт заряд, заряд перестраивается, поле меняется — и так до тех пор, пока поле в толще не исчезнет. Равновесие возможно только при \(\mathbf{E}=0\) всюду внутри проводника.
Почему на поверхности поле по нормали. На самой поверхности электроны тоже свободны скользить вдоль неё. Касательная компонента \(\mathbf{E}_\tau\) дала бы касательную силу и ток по поверхности. В равновесии \(\mathbf{E}_\tau=0\), остаётся только нормаль: линии поля подходят к проводнику перпендикулярно (или уходят от него).
Достаточно ли этого для \(\varphi=\mathrm{const}\). Да. Разность потенциалов между любыми двумя точками \(A\) и \(B\) проводника \[ \varphi_B-\varphi_A=-\int_A^B\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}. \] Путь можно провести целиком внутри: там \(\mathbf{E}=0\), интеграл нуль. Можно провести и по поверхности: там \(\mathbf{E}\perp d\mathbf{l}\), скалярное произведение нуль. Значит \(\varphi_B=\varphi_A\). Весь проводник — и толща, и поверхность — есть одна эквипотенциаль.
Обратное тоже верно: если потенциал всюду в области одинаков, поля там нет — будь \(\mathbf{E}\neq0\), при переносе заряда вдоль поля совершалась бы работа и потенциал менялся бы. Два условия (поле внутри нуль и поле на поверхности нормально) — просто другая запись того, что потенциал постоянен.