Сфера радиуса \(R\) имеет заряд \(Q\). Чему равен потенциал в центре? Зависит ли он от распределения заряда по сфере? Зависит ли потенциал на поверхности от распределения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разобьём заряд сферы на маленькие кусочки \(dq\). Потенциал в центре \[ \varphi_{\text{ц}}=\int\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r}. \] Но для любой точки сферы \(r=R\), константу выносим: \[ \varphi_{\text{ц}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R}\int dq=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}. \] В интеграл вошёл только полный заряд. Как именно \(dq\) рассажены по сфере — равномерно, пятнами, всё на одном полюсе — центру безразлично: все кусочки одинаково далеки.
На поверхности картина другая. Возьмём точку \(A\) на сфере. Близкие к \(A\) кусочки заряда дают большой вклад (\(r\) мало), далёкие — маленький. Если сдвинуть заряд к \(A\), потенциал в \(A\) вырастет; если сдвинуть на противоположную сторону — упадёт. Значит потенциал на поверхности зависит от распределения.
Исключение — равномерное распределение (как на уединённом проводящем шаре): тогда все точки поверхности одинаковы по симметрии, и \(\varphi_{\text{пов}}=Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\) — то же число, что в центре. Это не случайность: внутри равномерно заряженной сферической оболочки поле равно нулю, потенциал постоянен во всём шаре.
Если заряд по сфере неравномерен, поле внутри уже не ноль, и потенциал от центра к разным точкам поверхности меняется по-разному. Поэтому ответ на второй вопрос — да, зависит; на первый — нет, не зависит.