Заряды 100, 10, 1, \(-10\), \(-1\), \(-10\) СГС в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2 см. Потенциал в центре в СИ и СГС?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне. Это видно из разбиения на шесть равносторонних треугольников: каждый имеет сторону \(2\) см, и от центра до вершины тоже \(2\) см. Значит все шесть зарядов сидят на одном расстоянии \(r=2\) см от точки, где мы ищем потенциал.
В гауссовой системе потенциал точечного заряда — просто \(q/r\), и \[ \varphi=\frac{1}{r}\sum_i q_i=\frac{100+10+1+(-10)+(-1)+(-10)}{2}=\frac{90}{2}=45\ \text{СГС}. \] Перевод в СИ: \(1\) единица потенциала СГС \(=300\) В, поэтому \[ \varphi=45\cdot300=13500\ \text{В}=13{,}5\ \text{кВ}. \] Знаки зарядов уже учтены в сумме: три «плюса» дали \(111\), три «минуса» дали \(-21\), остаток \(90\). Если бы расстояния были разными, так складывать было бы нельзя — пришлось бы делить каждый заряд на своё \(r_i\).
Поле в центре, напротив, нулём не будет: заряды разные, векторная сумма \(\mathbf{E}\) не обязана гаситься. Потенциал снова «не знает» про направления.
Полезно явно расставить заряды по кругу, чтобы не спутать знаки. Пусть вершины идут по часовой: \(100\), \(10\), \(1\), \(-10\), \(-1\), \(-10\). Сумма не зависит от порядка, но поле — зависит: большой плюс \(100\) почти ничем не уравновешен с противоположной стороны (там \(-10\)), поэтому \(\mathbf{E}\) в центре смотрит от \(100\) к противоположной вершине. Для потенциала эта асимметрия роли не играет.
Перевод единиц стоит помнить наизусть: \(1\) СГС потенциала \(=300\) В, \(1\) СГС заряда \(\approx3{,}33\cdot10^{-10}\) Кл. Задачник Савченко часто даёт числа в СГС именно затем, чтобы сумма \(\sum q_i/r\) считалась в уме.