Заряды \(10^{-9}\) Кл в углах квадрата со стороной 10 см. Найдите разность потенциалов между центром (1) и серединой стороны (2).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Дано: \(q=10^{-9}\) Кл, сторона \(l=10\) см \(=0{,}1\) м, \(k=9\cdot10^9\). Удобно сразу запомнить \(kq=9\) В\(\cdot\)м.
Точка 1 — центр квадрата. Расстояние до каждой вершины \(l/\sqrt{2}\), поэтому \[ \varphi_1=4\cdot\frac{kq}{l/\sqrt{2}}=\frac{4kq\sqrt{2}}{l}=\frac{4\cdot9\cdot1{,}4142}{0{,}1}=509{,}1\ \text{В}. \] Это ровно потенциал задачи 6.3.4 при тех же числах.
Точка 2 — середина стороны. Два заряда на концах этой стороны сидят на расстоянии \(l/2=0{,}05\) м. Два остальных — в противоположных вершинах; расстояние до них по Пифагору \[ r=\sqrt{\Bigl(\frac{l}{2}\Bigr)^2+l^2}=\frac{l}{2}\sqrt{5}=\frac{l\sqrt{5}}{2}=0{,}1118\ \text{м}. \] Значит \[ \varphi_2=2\cdot\frac{kq}{l/2}+2\cdot\frac{kq}{l\sqrt{5}/2}=\frac{4kq}{l}+\frac{4kq}{l\sqrt{5}}. \] Первое слагаемое \(4\cdot9/0{,}1=360\) В, второе \(36/(0{,}1\cdot2{,}236)=161{,}0\) В, итого \(\varphi_2=521{,}0\) В.
Разность, которую просят (центр минус середина стороны): \[ \varphi_1-\varphi_2=509{,}1-521{,}0=-11{,}9\ \text{В}. \] Потенциал в середине стороны чуть выше: туда ближе два заряда. Поле смотрит из середины стороны к центру, и интеграл \(-\int\mathbf{E}\,d\mathbf{l}\) как раз отрицательный, если идти от 1 к 2 мы не идём — мы вычитаем \(\varphi_2\) из \(\varphi_1\).
Знак легко поймать без арифметики. Точка 2 лежит на стороне, то есть ближе к двум зарядам, чем центр. Кулоновский потенциал убывает с расстоянием, поэтому \(\varphi_2>\varphi_1\), разность «центр минус середина» отрицательна. Если в ответе получится плюс — перепутали порядок точек.
Единицы: \(kq/l=9/0{,}1=90\) В — естественный масштаб задачи. Четыре заряда дают сотни вольт, разность — единицы процентов от самих потенциалов, поэтому считать нужно аккуратно, не округляя \(\sqrt{2}\) и \(\sqrt{5}\) слишком грубо.