В вершинах квадрата со стороной \(l\) находятся четыре заряда \(q\). Чему равен потенциал в центре?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Диагональ квадрата со стороной \(l\) равна \(l\sqrt{2}\). Центр делит диагональ пополам, поэтому расстояние от любой вершины до центра \[ r=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{l}{\sqrt{2}}. \] (Или по Пифагору: от центра до стороны \(l/2\) по каждой оси, \(r=\sqrt{2}\cdot l/2\).)
Каждый заряд даёт вклад \(kq/r=kq\sqrt{2}/l\). Четыре одинаковых заряда: \[ \varphi=4\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{l/\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}\,q}{4\pi\varepsilon_0 l}=\frac{\sqrt{2}\,q}{\pi\varepsilon_0 l}. \] Ту же формулу можно записать как \(\varphi=4\sqrt{2}\,q/(4\pi\varepsilon_0 l)\) — так сразу видно множитель \(4\sqrt{2}\) к обычному \(kq/l\).
В ответах задачника напечатано \(\sqrt{2}\,q/(4\pi\varepsilon_0 l)\) — в четыре раза меньше. Это опечатка. Она получается, если по ошибке взять расстояние до центра равным диагонали \(l\sqrt{2}\) (забыли половину) или «потерять» четыре заряда, оставив один. Считаем до центра, как просит условие.
Поле в центре, кстати, равно нулю: четыре вектора \(\mathbf{E}\) образуют крест и гасятся. Потенциал при этом вовсе не обязан быть нулём — нуль потенциала сидит на бесконечности, а в центре все четыре вклада положительны.