Савченко · Глава 6. Электростатика · § 6.3. Потенциал электрического поля. Проводники в постоянном электрическом поле

Савченко, задача 6.3.11

Задача 6.3.11две параллельные плиты

Условие

Две бесконечные проводящие изолированные плиты заряжены так, что суммарная плотность обеих сторон первой равна \(\sigma_1\), второй \(\sigma_2\). Плиты параллельны. Найдите плотность на каждой стороне.

К задаче 6.3.11. Внутри каждой плиты E = 0 — это фиксирует четыре плотности.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея У каждой плиты две стороны — четыре неизвестных плотности. Два уравнения — данные суммы \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\). Ещё два — поле внутри каждого металла равно нулю. Бесконечные плоскости дают поле \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) каждая, и суперпозиция решает систему.

Обозначим плотности. Плита 1 слева: внешняя сторона (смотрит влево) — \(\sigma_1'\), внутренняя (смотрит на плиту 2) — \(\sigma_1''\). Плита 2 справа: внутренняя — \(\sigma_2'\), внешняя — \(\sigma_2''\). По условию \[ \sigma_1'+\sigma_1''=\sigma_1,\qquad \sigma_2'+\sigma_2''=\sigma_2. \]

Каждая бесконечная заряженная плоскость создаёт с обеих сторон поле \(\sigma/(2\varepsilon_0)\), направленное от плоскости, если \(\sigma>0\). Направим ось вправо и выпишем поле внутри металла первой плиты (между её двумя сторонами). Вклады:

от \(\sigma_1'\): вправо, \(\sigma_1'/(2\varepsilon_0)\);
от \(\sigma_1''\): влево, \(-\sigma_1''/(2\varepsilon_0)\);
от обеих сторон плиты 2: влево, \(-(\sigma_2'+\sigma_2'')/(2\varepsilon_0)=-\sigma_2/(2\varepsilon_0)\).

Внутри проводника сумма нуль: \[ \sigma_1'-\sigma_1''-\sigma_2=0. \] Вместе с \(\sigma_1'+\sigma_1''=\sigma_1\) это сразу даёт \[ \sigma_1'=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2},\qquad \sigma_1''=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}. \] То же для второй плиты (поле в её толще равно нулю): \[ \sigma_2'=-\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2},\qquad \sigma_2''=\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}. \]

Словами: внешние стороны несут одинаковую плотность \((\sigma_1+\sigma_2)/2\), внутренние — равные по модулю и противоположные \(\pm(\sigma_1-\sigma_2)/2\). Внутренние заряды — это «конденсаторная» пара, внешние — общий заряд, который обе плиты делят поровну.

Проверка. Суммы сходятся: \(\sigma_1'+\sigma_1''=\sigma_1\), \(\sigma_2'+\sigma_2''=\sigma_2\). Если \(\sigma_1=\sigma_2=\sigma\), внутренние плотности нуль — заряды сидят только снаружи, как на одном толстом проводнике. Если \(\sigma_2=-\sigma_1\), внешние плотности нуль, внутри \(\pm\sigma_1\) — обычный плоский конденсатор. Поле слева и справа от системы одинаково и равно \((\sigma_1+\sigma_2)/(2\varepsilon_0)\), как у одной плоскости с суммарным зарядом.

Ответ\(\sigma_1'=(\sigma_1+\sigma_2)/2\), \(\sigma_1''=(\sigma_1-\sigma_2)/2\), \(\sigma_2'=-(\sigma_1-\sigma_2)/2\), \(\sigma_2''=(\sigma_1+\sigma_2)/2\).

Следующая задача 6.3.12 →