а. Две параллельные разноимённо заряженные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии 1 см, много меньшем размеров пластин. Поверхностная плотность заряда пластин \(\pm3\) СГС/см\(^2\). Определите разность потенциалов между пластинами в СГС и СИ.
б. Две параллельные разноимённо заряженные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии 5 см, много меньшем размеров пластин. Поверхностная плотность заряда пластин \(\pm10^{-10}\) Кл/см\(^2\). Определите разность потенциалов между пластинами в СГС и СИ.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На внутренних сторонах пластин сидят плотности \(+\sigma\) и \(-\sigma\) (внешние почти пусты, см. 6.3.11 при \(\sigma_2=-\sigma_1\)). Поле каждой пластины \(\sigma/(2\varepsilon_0)\); между ними они складываются, снаружи вычитаются: \[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\quad\text{в зазоре},\qquad E=0\quad\text{снаружи}. \] В гауссовой системе та же таблетка даёт \(E=4\pi\sigma\). Потенциал в однородном поле меняется линейно, \(\Delta\varphi=Ed\).
а. \(\sigma=3\) СГС/см\(^2\), \(d=1\) см. Считаем в СГС: \[ E=4\pi\cdot3=12\pi\approx37{,}7\ \frac{\text{СГС}}{\text{см}},\qquad \Delta\varphi=Ed=37{,}7\ \text{СГС}. \] Перевод: \(1\) СГС потенциала \(=300\) В, поэтому \(\Delta\varphi=37{,}7\cdot300=11{,}3\) кВ.
б. Теперь удобнее СИ. Плотность \(\sigma=10^{-10}\) Кл/см\(^2=10^{-10}\cdot10^{4}\) Кл/м\(^2=10^{-6}\) Кл/м\(^2\), зазор \(d=5\) см \(=0{,}05\) м. \[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{10^{-6}}{8{,}85\cdot10^{-12}}=1{,}13\cdot10^5\ \frac{\text{В}}{\text{м}}, \] \[ \Delta\varphi=Ed=1{,}13\cdot10^5\cdot0{,}05=5{,}65\cdot10^3\ \text{В}=5{,}65\ \text{кВ}. \] В СГС: \(5{,}65\) кВ \(/\,300\) В \(=18{,}8\) единицы потенциала.
Почему поле \(\sigma/\varepsilon_0\), а не \(\sigma/(2\varepsilon_0)\). Одна тонкая плёнка в вакууме даёт \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) с каждой стороны. Две пластины конденсатора — это две плёнки: в зазоре поля складываются, снаружи вычитаются. Эквивалентно: проводник «выключает» поле с одной стороны (см. таблетку 6.3.9), и всё поле собирается в зазоре. Для разности потенциалов живёт только зазор: снаружи \(E=0\), там \(\varphi=\mathrm{const}\).
Знак: положительная пластина имеет больший потенциал. В условии «разноимённо заряженные», разность берут по модулю — именно её и спрашивают в киловольтах.