Чему равна разность потенциалов между крайними пластинами в системе, состоящей из трёх параллельных бесконечных пластин, заряженных одноимёнными зарядами с поверхностной плотностью заряда \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\)? Средняя пластина находится на расстоянии \(h_1\) от первой и на расстоянии \(h_2\) от третьей пластины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле одной бесконечной плоскости равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) и направлено от плоскости, если заряд положителен. Пусть пластины стоят в порядке \(1\), \(2\), \(3\), расстояния \(h_1\) и \(h_2\), ось направлена от 1 к 3.
В зазоре 1–2 поле первой пластины смотрит вправо, а поле второй и третьей — влево (если все \(\sigma>0\)): \[ E_{12}=\frac{\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3}{2\varepsilon_0}. \] В зазоре 2–3 уже две левые пластины гонят вправо, правая — влево: \[ E_{23}=\frac{\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3}{2\varepsilon_0}. \]
Потенциал падает вдоль поля: \(\varphi_3-\varphi_1=-\int_1^3 E\,dx=-E_{12}h_1-E_{23}h_2\). Подставляем: \[ \varphi_3-\varphi_1=-\frac{(\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3)h_1+(\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3)h_2}{2\varepsilon_0}. \] Раскроем скобки: \[ -(\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3)h_1-(\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3)h_2 =-\sigma_1(h_1+h_2)+\sigma_2(h_1-h_2)+\sigma_3(h_1+h_2). \] Делим на \(2\varepsilon_0\) и группируем: \[ \varphi_3-\varphi_1=\frac{(\sigma_3-\sigma_1)(h_1+h_2)+\sigma_2(h_1-h_2)}{2\varepsilon_0}. \]
Средняя пластина входит с весом \(h_1-h_2\): если она ближе к третьей (\(h_2<h_1\)), её положительный заряд поднимает \(\varphi_3\) относительно \(\varphi_1\). Крайние входят симметрично, с полным пролётом \(h_1+h_2\).
Важно: здесь \(\sigma_i\) — заданные плотности тонких листов, а не «проводящие плиты, на которых заряд перераспределится». Если бы пластины были толстыми проводниками, заряд сам разбежался бы по сторонам, как в 6.3.11, и ответ был бы другим. Условие даёт плотности — считаем три фиксированные плоскости.