а. Между двумя заземлёнными металлическими пластинами находится одинаковая с ними по размерам тонкая плёнка с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). Расстояние от неё до верхней пластины \(a\), до нижней \(b\) (\(a\) и \(b\) много меньше линейных размеров пластин). Найдите напряжённость электрического поля вблизи верхней и нижней пластин. Определите поверхностную плотность заряда, индуцируемого на них.
б*. Между заземлёнными параллельными пластинами на расстоянии \(a\) и \(b\) от них находится заряд \(q\). Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними. Докажите, что заряды, индуцируемые на заземлённых пластинах, не изменятся, если заряд \(q\) распределить по плоскости, лежащей между пластинами на том же расстоянии, что и заряд \(q\). Определите заряд пластин.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Плёнка. В каждом зазоре поле однородно и направлено от плёнки к пластине (если \(\sigma>0\)). Потенциал обеих пластин нуль, поэтому потенциал плёнки \[ \varphi_{\text{пл}}=E_a a=E_b b. \] Отсюда \(E_a/E_b=b/a\). Теорема Гаусса на тонкой таблетке вокруг плёнки: поле выходит в обе стороны, \[ \varepsilon_0(E_a+E_b)=\sigma. \] Решаем систему \(E_a=E_b\cdot b/a\) и \(E_a+E_b=\sigma/\varepsilon_0\): \[ E_a=\frac{\sigma b}{\varepsilon_0(a+b)},\qquad E_b=\frac{\sigma a}{\varepsilon_0(a+b)}. \] У заземлённой пластины \(E=\sigma_{\text{инд}}/\varepsilon_0\) по величине, а знак индуцированного заряда противоположен полю, входящему в металл. Поэтому \[ \sigma_a=-\varepsilon_0 E_a=-\frac{\sigma b}{a+b},\qquad \sigma_b=-\frac{\sigma a}{a+b}. \] Ближняя к плёнке пластина забирает большую долю индуцированного заряда: если \(a\ll b\), почти весь \(-\sigma\) сидит слева.
б. Точечный заряд. Заменим плёнку точечным зарядом \(q\) на той же «высоте» (на расстояниях \(a\) и \(b\) от пластин). Потенциал пластин по-прежнему нуль. Размажем мысленно \(q\) равномерно по плоскости, параллельной пластинам: получим задачу пункта а) с \(\sigma=q/S\). По теореме единственности потенциал в области между пластинами определяется граничными значениями (\(\varphi=0\) на пластинах) и зарядом внутри. На самих пластинах потенциал уже зафиксирован, поэтому их полные индуцированные заряды не могут измениться от перераспределения \(q\) вдоль плоскости. Значит \[ q_a=-\frac{qb}{a+b},\qquad q_b=-\frac{qa}{a+b}. \] Сумма \(q_a+q_b=-q\): весь заряд «изобразился» на двух землях, снаружи экранированных пластин поля нет.