В полости металлического шара радиуса \(R\) находится заряд \(Q\). Найдите заряд, индуцируемый этим зарядом на поверхности полости. Почему на поверхности шара заряд будет распределён с постоянной плотностью? Чему равна поверхностная плотность заряда шара, если его полный заряд равен нулю? Найдите напряжённость электрического поля вне шара на расстоянии \(L\) от его центра в случае, если его полный заряд равен \(q\). Зависит ли это поле от месторасположения полости в шаре? от её формы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Индуцированный заряд на стенке полости. Проведём замкнутую поверхность целиком в металле, обхватив полость. На ней \(\mathbf{E}=0\), поток нуль, внутренний заряд нуль: \[ Q+Q'=0\qquad\Rightarrow\qquad Q'=-Q. \] Это верно при любой форме полости и любом положении заряда внутри неё.
Почему снаружи заряд равномерен. Внешняя поверхность — сфера, металл эквипотенциален. По теореме единственности поле снаружи такое же, как у точечного заряда в центре (единственное сферически-симметричное решение с данным полным зарядом и \(\varphi\to0\) на бесконечности). Значит и \(\sigma\) на внешней сфере однородна. Полость могла сидеть где угодно и быть какой угодно формы — снаружи это не видно: металл экранирует.
Плотность, если полный заряд шара нуль. На стенке полости \(-Q\), полный заряд шара \(0\), следовательно на внешней поверхности сидит \(+Q\). Плотность \[ \sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}. \]
Поле вне шара. Пусть теперь полный заряд шара равен \(q\). Тогда на внешней поверхности \(q-Q'=q+Q\), и на расстоянии \(L\) от центра \[ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q+q}{L^2}. \] От положения заряда \(Q\) внутри полости и от формы полости это поле не зависит: снаружи виден только суммарный заряд \(Q+q\).