Внутри полости длинного незаряженного проводника радиуса \(r\) заряд \(q\). Проводник окружён цилиндрическим экраном радиуса \(R\). Длина \(L\gg R\). Как зависит поле вне полости (в средней части) от расстояния до оси?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Проводник длинный, \(L\gg R\), краевыми эффектами в средней части пренебрегаем. Полость может сидеть не на оси и быть любой формы — нам нужно поле вне полости, то есть в толще металла и дальше.
В толще металла \(\mathbf{E}=0\). Гаусс вокруг полости даёт индуцированный заряд \(-q\) на её стенке. Проводник в целом незаряжен, значит на его внешней цилиндрической поверхности (радиус \(r\)) сидит \(+q\). Из-за большой длины этот заряд размазан с линейной плотностью \(q/L\), и в средней части — равномерно по образующим: иначе потенциал длинного цилиндра не был бы постоянен.
Снаружи проводник окружён экраном радиуса \(R\). «Экран» означает: поле за ним нуль. На внутренней поверхности экрана наводится \(-q\), снаружи экрана заряда нет (или экран заземлён — для поля снаружи это одно и то же, раз он цилиндрически симметричен и длинный).
Теперь — зависимость от расстояния \(x\) до оси, в средней части, вне полости.
При \(x<r\), но уже вне полости, мы находимся в металле: \(E=0\).
При \(r<x<R\) гауссова цилиндрическая поверхность радиуса \(x\) и длины \(\ell\) захватывает заряд \((q/L)\ell\): \[ E\cdot 2\pi x\ell=\frac{q\ell}{L\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 x L}. \] Это поле бесконечной нити.
При \(x>R\) полный заряд внутри — \(q\) (в полости) \(-q\) (на полости) \(+q\) (на проводнике) \(-q\) (на экране) \(=0\), поэтому \(E=0\).