В однородном поле — незаряженный проводник. Изменится ли поверхностная плотность, если все размеры уменьшить в \(n\) раз?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Незаряженный проводник во внешнем однородном поле \(E_0\) поляризуется: на одной стороне наводится плюс, на другой минус, так чтобы внутри стало \(\mathbf{E}=0\), а на бесконечности поле осталось \(E_0\). Поверхностная плотность связана с полем сразу снаружи: \(\sigma=\varepsilon_0 E_n\).
Уменьшим все размеры проводника в \(n\) раз, сохранив форму и поле \(E_0\) на бесконечности. Сожмём мысленно в \(n\) раз и всю картину поля — каждую силовую линию и каждую эквипотенциаль. Сжатая картина по-прежнему удовлетворяет всем условиям задачи: вдали поле осталось однородным \(E_0\) (в однородном поле нет своего масштаба длины, сжатие его не меняет), поверхность тела осталась эквипотенциалью. Значит, это и есть решение для уменьшенного проводника. При таком сжатии значение \(E\) в сходственных точках не меняется: перепады потенциала и расстояния уменьшаются в одинаковое число раз. Поэтому и \(\sigma=\varepsilon_0 E_n\) на соответствующих участках не меняется.
Интуитивно: меньший проводник «вырезает» меньший кусок того же однородного поля. Наведённый дипольный момент падает как объём, то есть как \(n^{-3}\), площадь — как \(n^{-2}\), поэтому плотность \(\sigma\sim p/(\text{объём})\cdot(\text{линейный размер})\) остаётся. Для шара это явно: \(\sigma=3\varepsilon_0 E_0\cos\theta\), радиуса в формуле нет.