Металлический шар радиуса 10 см помещён внутрь сферической металлической оболочки, имеющей внешний радиус 30 см и толщину 10 см, так, что их центры совпадают. На шаре находится заряд \(10^{-5}\) Кл, на оболочке — заряд \(8\cdot10^{-5}\) Кл. Постройте график зависимости потенциала электрического поля от расстояния до центра шара.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиусы. Шар: \(R_1=10\) см \(=0{,}1\) м. Оболочка толщиной \(10\) см с внешним радиусом \(30\) см: внутренний радиус \(R_2=20\) см \(=0{,}2\) м, внешний \(R_3=0{,}3\) м.
Заряды. На шаре \(q_1=10^{-5}\) Кл. На внутренней поверхности оболочки индуцируется \(-q_1=-10^{-5}\) Кл (Гаусс в толще металла). Полный заряд оболочки \(8\cdot10^{-5}\) Кл, значит на внешней поверхности \[ 8\cdot10^{-5}-(-10^{-5})=9\cdot10^{-5}\ \text{Кл}. \] Полный заряд системы \(10^{-5}+8\cdot10^{-5}=9\cdot10^{-5}\) Кл — он и сидит снаружи.
Поле (Гаусс, сферическая симметрия): \[ \begin{aligned} r&<R_1: && E=0,\\ R_1<r<R_2: && E&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{r^2},\\ R_2<r<R_3: && E&=0,\\ r>R_3: && E&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{9\cdot10^{-5}}{r^2}. \end{aligned} \]
Потенциал, \(\varphi(\infty)=0\), \(k=9\cdot10^9\).
На внешней поверхности и во всей оболочке (\(0{,}2\le r\le0{,}3\)) \[ \varphi=k\frac{9\cdot10^{-5}}{0{,}3}=9\cdot10^9\cdot3\cdot10^{-4}=2{,}7\cdot10^6\ \text{В}=2{,}7\ \text{МВ}. \] В зазоре к этой полке добавляется вклад поля шара: \[ \varphi(r)=2{,}7\cdot10^6+k q_1\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{0{,}2}\Bigr)=2{,}7\cdot10^6+9\cdot10^4\Bigl(\frac{1}{r}-5\Bigr). \] На поверхности шара и внутри него (\(r\le0{,}1\)) \[ \varphi=2{,}7\cdot10^6+9\cdot10^4(10-5)=2{,}7\cdot10^6+4{,}5\cdot10^5=3{,}15\cdot10^6\ \text{В}=3{,}15\ \text{МВ}. \] Снаружи оболочки \(\varphi(r)=k\cdot9\cdot10^{-5}/r\) — обычная гипербола, в нуле на бесконечности.
График: горизонталь \(3{,}15\) МВ до \(10\) см; спад \(1/r\) до \(2{,}7\) МВ при \(20\) см; полка \(2{,}7\) МВ до \(30\) см; снова \(1/r\) наружу.