Три проводящие концентрические сферы радиусов \(r\), \(2r\), \(3r\) имеют заряды \(q\), \(2q\), \(-3q\). Потенциал каждой сферы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Три сферы: радиусы \(r\), \(2r\), \(3r\), заряды \(q\), \(2q\), \(-3q\). Полный заряд системы \(q+2q-3q=0\), поэтому на бесконечности и сразу снаружи третьей сферы \(\varphi=0\).
Потенциал точки на расстоянии \(R\) от центра, создаваемый равномерно заряженной сферой радиуса \(R_i\) с зарядом \(q_i\), равен \(kq_i/R\), если \(R\ge R_i\), и \(kq_i/R_i\), если \(R\le R_i\). На поверхности \(i\)-й сферы это как раз \(kq_j/\max(R_i,R_j)\). Складываем.
Внешняя сфера (\(R=3r\)): все три заряда для неё внутренние, \[ \varphi_3=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q}{3r}+\frac{2q}{3r}+\frac{-3q}{3r}\Bigr)=0. \]
Средняя (\(R=2r\)): заряды \(q\) и \(2q\) — внутренние (и свой), заряд \(-3q\) — внешний, он даёт константу \(k(-3q)/(3r)\): \[ \varphi_2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q}{2r}+\frac{2q}{2r}+\frac{-3q}{3r}\Bigr)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{2r}=\frac{q}{8\pi\varepsilon_0 r}. \]
Внутренняя (\(R=r\)): \[ \varphi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q}{r}+\frac{2q}{2r}+\frac{-3q}{3r}\Bigr)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
Замечательно, что вклады \(2q\) и \(-3q\) на внутренней сфере сократились: \(k\cdot2q/(2r)=k\cdot3q/(3r)\). Остался только «собственный» \(kq/r\).
Другой путь — идти с бесконечности. Снаружи полный заряд нуль, \(\varphi=0\) вплоть до \(3r\). В слое \(2r\ldots3r\) поле \(k\cdot3q/x^2\), падение потенциала \(k\cdot3q(1/(2r)-1/(3r))=kq/(2r)\), и средняя сфера оказывается под \(\varphi_2=kq/(2r)\). В слое \(r\ldots2r\) поле \(k\cdot q/x^2\) (внутренний заряд только \(q\): на средней сфере снаружи \(2q\), но для поля в зазоре «под ней» виден лишь \(q\)). Добавка \(kq(1/r-1/(2r))=kq/(2r)\), итого \(\varphi_1=kq/r\). Тот же ответ, и путь иногда прозрачнее.