Савченко, задача 6.3.21

Пусть на внутренней сфере (радиус \(r\)) заряд \(q_1\), на внешней (радиус \(2r\)) — \(q_2\). Нуль потенциала — на бесконечности.

Внешняя сфера «видит» полный заряд \(q_1+q_2\) как точку в центре: \[ \varphi_2=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1+q_2}{2r}=\varphi. \] Отсюда сразу \[ q_1+q_2=8\pi\varepsilon_0 r\varphi. \tag{1} \]

Внутренняя сфера: свой заряд даёт \(kq_1/r\), внешний — константу \(kq_2/(2r)\). По условию этот потенциал нуль: \[ \varphi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q_1}{r}+\frac{q_2}{2r}\Bigr)=0\qquad\Rightarrow\qquad 2q_1+q_2=0. \tag{2} \]

Вычитаем (2) из удвоенного (1): \((2q_1+2q_2)-(2q_1+q_2)=16\pi\varepsilon_0 r\varphi\), то есть \(q_2=16\pi\varepsilon_0 r\varphi\). Тогда из (2) \(q_1=-8\pi\varepsilon_0 r\varphi\).

Знаки понятны: внешнюю сферу держат под плюсом \(\varphi\), внутренняя заземлена (или просто \(\varphi=0\)) — на неё натекает минус. По модулю заряд внешней вдвое больше, потому что её радиус вдвое больше, а потенциалы «встречные».

Тот же ответ читается через ёмкости. Система двух концентрических сфер — это сферический конденсатор ёмкости \(C=4\pi\varepsilon_0\cdot r\cdot 2r/(2r-r)=8\pi\varepsilon_0 r\), плюс внешняя сфера как уединённый шар ёмкости \(C_{\text{внеш}}=4\pi\varepsilon_0\cdot 2r=8\pi\varepsilon_0 r\). Внутренняя сидит на нуле, внешняя на \(\varphi\): заряд конденсатора \(q_{\text{конд}}=-C\varphi=-8\pi\varepsilon_0 r\varphi\) (минус — на внутренней обкладке), а полный заряд внешней равен заряду конденсатора с плюсом плюс заряд уединённой внешней сферы \(C_{\text{внеш}}\varphi\). Но заряд конденсатора на внешней обкладке равен \(+C\varphi\), плюс \(C_{\text{внеш}}\varphi\) даёт \(16\pi\varepsilon_0 r\varphi\). Та же пара чисел.

Поле снаружи \(E=k(q_1+q_2)/x^2=k\cdot 8\pi\varepsilon_0 r\varphi/x^2=2\varphi r/x^2\); на самой внешней сфере \(E=2\varphi/(2r)=\varphi/r\), как и \(E=\sigma/\varepsilon_0\) с \(\sigma=q_2/(4\pi\cdot4r^2)\).