Металлический шар радиуса \(R_1\), заряженный до потенциала \(\varphi\), окружают концентрической незаряженной оболочкой \(R_2\). Чему станет равен потенциал шара, если заземлить оболочку? соединить шар с оболочкой?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До появления оболочки шар был уединён и имел потенциал \(\varphi\), значит его заряд \[ Q=4\pi\varepsilon_0 R_1\varphi. \] Надели незаряженную оболочку \(R_2\). На её внутренней поверхности наведётся \(-Q\), на внешней \(+Q\) (полный заряд оболочки нуль). Потенциал шара при этом не меняется: вклад \(-Q\) и \(+Q\) оболочки в точке внутри сокращается, остаётся \(kQ/R_1=\varphi\). Меняется он только после следующей операции.
Заземлили оболочку. С внешней поверхности заряд \(+Q\) стекает в землю. Оболочка теперь под нулём, снаружи поля нет. На шаре по-прежнему \(Q\) (он изолирован). Его потенциал — это потенциал конденсатора «шар–оболочка»: \[ \varphi_1=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr)=\varphi\cdot\frac{R_2-R_1}{R_2}. \] Потенциал упал: часть «высоты» \(kQ/R_1\) съела заземлённая оболочка.
Соединили шар с оболочкой (перемычкой, землю не трогаем). Теперь это один проводник. Весь заряд \(Q\) выталкивается на внешнюю поверхность (внутри металла \(E=0\), на внутренней стороне оболочки заряд стать ненулевым не может — иначе Гаусс в металле нарушится). Система выглядит как уединённый шар радиуса \(R_2\): \[ \varphi_2=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}=\varphi\cdot\frac{R_1}{R_2}. \]