Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса \(R_1\) и внешней радиуса \(R_2\). Внутренняя сфера имеет заряд \(q\), а внешняя заземлена. Найдите напряжённость и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внутренняя сфера несёт заряд \(q\). Гаусс в толще внешней сферы требует, чтобы на её внутренней поверхности сидел \(-q\). Внешняя сфера заземлена: потенциал нуль, и единственное согласованное с \(\varphi(\infty)=0\) распределение — нулевой заряд на её внешней стороне. Снаружи полный заряд системы нуль, \(E=0\), \(\varphi=0\).
Область \(r>R_2\). \[ E=0,\qquad \varphi=0. \]
Зазор \(R_1<r<R_2\). Внутри гауссовой сферы радиуса \(r\) заряд \(q\), \[ E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}. \] Потенциал отсчитываем от внешней сферы, где он нуль: \[ \varphi(r)=-\int_{R_2}^{r}E\,dr'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\Bigr). \] (Идём внутрь против поля, если \(q>0\), потенциал растёт.)
Внутри внутренней сферы, \(r<R_1\). Это металл: \(E=0\), потенциал равен значению на её поверхности \[ \varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\Bigr). \]
Это потенциал заряженного сферического конденсатора. Ёмкость \(C=4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2/(R_2-R_1)\), и \(\varphi_{\text{внутр}}=q/C\).
Сравните с 6.3.24, где заземлена внутренняя сфера: там снаружи поле уже не нуль, потому что полный заряд системы не ноль. Здесь земля «съела» \(+q\) с внешней стороны, и снаружи темно. График \(\varphi(r)\): нуль всюду при \(r\ge R_2\), затем рост как \(1/r-1/R_2\) до полки внутри внутренней сферы.