Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внутренней радиуса \(R_1\) и внешней радиуса \(R_2\). Внешняя сфера имеет заряд \(q\), а внутренняя заземлена. Найдите напряжённость и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Неизвестные. На внутренней сфере — \(q_1\) (его даст земля). На внутренней стороне внешней сферы \(-q_1\) (Гаусс в зазоре / в металле внешней). На внешней стороне внешней сферы тогда \(q+q_1\), потому что полный заряд внешней фиксирован и равен \(q\).
Потенциал внутренней сферы. Вклад своего заряда \(kq_1/R_1\), вклад всего, что сидит на внешней сфере, — константа \(kq/R_2\) (для любой внутренней точки внешняя сфера выглядит как \(k\cdot(\text{полный её заряд})/R_2\), а полный её заряд как раз \(q\)): \[ \varphi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q_1}{R_1}+\frac{q}{R_2}\Bigr)=0\qquad\Rightarrow\qquad q_1=-q\frac{R_1}{R_2}. \] На внутренней наведён минус, по модулю в \(R_1/R_2\) раз меньше \(q\). Снаружи полный заряд системы \(q+q_1=q(1-R_1/R_2)\).
Снаружи, \(r>R_2\). \[ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\Bigl(1-\frac{R_1}{R_2}\Bigr),\qquad \varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}\Bigl(1-\frac{R_1}{R_2}\Bigr). \]
В зазоре, \(R_1<r<R_2\). Поле создаёт только \(q_1\): \[ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1}{r^2}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q R_1}{R_2 r^2}. \] Потенциал: от внешней поверхности, где \(\varphi(R_2)=k(q+q_1)/R_2\), плюс интеграл поля \(q_1\). Прямее — сложить вклады: \[ \varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q_1}{r}+\frac{q}{R_2}\Bigr)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}\Bigl(1-\frac{R_1}{r}\Bigr). \] При \(r=R_1\) это нуль, при \(r=R_2\) совпадает с внешним значением. Поле в зазоре направлено к центру (\(q_1<0\)).
Внутри внутренней сферы, \(r<R_1\). Металл заземлён: \(E=0\), \(\varphi=0\).