Равномерно заряженный шар радиуса \(R\) имеет объёмную плотность заряда \(\rho\). Найдите напряжённость поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Полный заряд шара \(Q=\tfrac43\pi R^3\rho\).
Поле. Гауссова сфера радиуса \(r\). Снаружи она захватывает весь заряд: \[ E\cdot4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E(r)=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2},\quad r\ge R. \] Внутри — только заряд доли \(\tfrac43\pi r^3\rho\): \[ E\cdot4\pi r^2=\frac{\tfrac43\pi r^3\rho}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0},\quad r\le R. \] На поверхности оба выражения сходятся: \(E(R)=\rho R/(3\varepsilon_0)\).
Потенциал снаружи. Нуль на бесконечности, \[ \varphi(r)=\int_r^\infty E\,dr'=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r},\quad r\ge R. \] На поверхности \(\varphi(R)=\rho R^2/(3\varepsilon_0)\).
Потенциал внутри. От поверхности идём внутрь, поле \(E=\rho r/(3\varepsilon_0)\): \[ \varphi(r)=\varphi(R)+\int_r^R\frac{\rho r'}{3\varepsilon_0}\,dr'=\frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}+\frac{\rho}{6\varepsilon_0}(R^2-r^2). \] Приводим к одному знаменателю: \[ \varphi(r)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Bigl(R^2-\frac{r^2}{3}\Bigr). \] В центре \(\varphi(0)=\rho R^2/(2\varepsilon_0)\) — в полтора раза больше, чем на поверхности. Поле внутри растёт линейно, потенциал — парабола ветвями вниз.
Полезно сравнить с равномерно заряженной сферической оболочкой того же заряда \(Q\): снаружи формулы те же, а внутри \(E=0\) и \(\varphi=\mathrm{const}=kQ/R\). Объёмный шар «проигрывает» оболочке в потенциале центра: часть заряда сидит ближе к центру и даёт больший вклад, поэтому \(\varphi(0)=1{,}5\cdot kQ/R\), а не \(kQ/R\).