Разность потенциалов между центром и поверхностью равномерно заряженного шара? Между осью и поверхностью цилиндра? Между поверхностью пластины толщины \(h\) и её серединой? Всюду плотность \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шар. Из 6.3.25 внутри \(E=\rho r/(3\varepsilon_0)\), \(\varphi(r)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}(R^2-r^2/3)\). На центре и на поверхности \[ \varphi(0)-\varphi(R)=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0}-\frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}=\frac{\rho R^2}{6\varepsilon_0}. \] Или напрямую: \(\int_0^R E\,dr=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_0^R r\,dr=\rho R^2/(6\varepsilon_0)\).
Цилиндр. Бесконечный цилиндр радиуса \(R\), плотность \(\rho\). Гауссова боковая поверхность радиуса \(r<R\) и длины \(\ell\): \[ E\cdot2\pi r\ell=\frac{\pi r^2\ell\rho}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}. \] (Снаружи было бы \(\rho R^2/(2\varepsilon_0 r)\) — как у нити.) Разность между осью и поверхностью \[ \Delta\varphi=\int_0^R E\,dr=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\int_0^R r\,dr=\frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}. \]
Пластина. Бесконечный слой толщины \(h\), середина — плоскость симметрии \(x=0\), поверхности при \(x=\pm h/2\). Поле перпендикулярно пластине. Таблетка от середины до координаты \(x\): \[ E\cdot S=\frac{Sx\rho}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}. \] (Снаружи \(E=\rho h/(2\varepsilon_0)\) — как у плёнки с \(\sigma=\rho h\).) От середины до поверхности \[ \Delta\varphi=\int_0^{h/2}E\,dx=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\int_0^{h/2}x\,dx=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr)^2=\frac{\rho h^2}{8\varepsilon_0}. \]
Три ответа отличаются только численным коэффициентом: \(1/6\), \(1/4\), \(1/8\). Это размерность: шар «трёхмерен» (поле \(\propto r/3\)), цилиндр «двумерен» (\(\propto r/2\)), пластина «одномерна» (\(\propto x/1\)). Интеграл \(\int_0^L (r/n)\,dr=L^2/(2n)\) даёт как раз \(1/6\), \(1/4\), \(1/2\cdot(h/2)^2=h^2/8\).