Бесконечный заряженный цилиндр радиуса \(r\) имеет объёмную плотность заряда \(\rho\) и окружён соосной с ним заземлённой цилиндрической металлической поверхностью радиуса \(R\). Найдите зависимость потенциала поля этой системы от расстояния до оси цилиндра.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Линейная плотность заряда цилиндра \(\lambda=\rho\cdot\pi r^2\). Заземлённая поверхность при \(x=R\) имеет \(\varphi=0\); снаружи неё поля нет (экран).
Зазор \(r<x<R\). Гаусс: \[ E\cdot2\pi x=\frac{\lambda}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad E(x)=\frac{\rho r^2}{2\varepsilon_0 x}. \] Потенциал отсчитываем от трубы: \[ \varphi(x)=\int_x^R E\,dx'=\frac{\rho r^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{R}{x}. \] На поверхности цилиндра \(\varphi(r)=\frac{\rho r^2}{2\varepsilon_0}\ln(R/r)\).
Внутри цилиндра, \(x<r\). Поле то же, что у равномерно заряженного цилиндра без трубы (труба снаружи не меняет поле внутри, пока мы не трогаем заряд): \[ E(x)=\frac{\rho x}{2\varepsilon_0}. \] От поверхности цилиндра идём к оси: \[ \varphi(x)=\varphi(r)+\int_x^r\frac{\rho x'}{2\varepsilon_0}\,dx'=\frac{\rho r^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{R}{r}+\frac{\rho}{4\varepsilon_0}(r^2-x^2). \] В скобках: \[ \varphi(x)=\frac{\rho}{2\varepsilon_0}\Bigl(r^2\ln\frac{R}{r}+\frac{r^2}{2}-\frac{x^2}{2}\Bigr). \] На оси потенциал максимален: логарифм зазора плюс \(\rho r^2/(4\varepsilon_0)\).