Савченко · Глава 6. Электростатика · § 6.3. Потенциал электрического поля. Проводники в постоянном электрическом поле

Савченко, задача 6.3.28

Задача 6.3.28метод изображений: заряд и плоскость

Условие

Точечный заряд \(Q\) на расстоянии \(h\) от бесконечной металлической плоскости. Какая сила действует на заряд?

К задаче 6.3.28. Изображение −Q на глубине h. Сила — притяжение к нему.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Металлическая плоскость — эквипотенциаль \(\varphi=0\). Ровно такую же эквипотенциаль в плоскости симметрии создаёт пара зарядов \(Q\) и \(-Q\). Значит поле в полупространстве с зарядом такое же, как у этой пары, и сила на \(Q\) — просто притяжение к изображению.

Поставим заряд-изображение \(-Q\) зеркально, на глубине \(h\) под плоскостью. Посередине, в плоскости симметрии, потенциалы \(+Q\) и \(-Q\) гасят друг друга: \(\varphi=0\). Это в точности граничное условие на заземлённом металле. По теореме единственности поле в верхнем полупространстве совпадает с полем пары.

Сила, действующая на настоящий заряд, равна силе со стороны изображения (поле изображения в точке \(Q\); своё поле заряд «не чувствует»): \[ F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\cdot Q}{(2h)^2}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0 h^2}. \] Направление — к плоскости: плюс тянется к минусу. Сама плоскость при этом притягивается к заряду с той же по модулю силой (третий закон для полной системы; локально тянут индуцированные минусы под зарядом).

Индуцированный заряд на плоскости равен полному заряду изображения: \(Q_{\text{инд}}=-Q\). Он размазан с плотностью \(\sigma=-\varepsilon_0 E_n\), максимум — прямо под \(Q\).

Проверка. Размерность — сила, да. При \(h\to\infty\) сила нуль — заряд далеко, плоскость почти не поляризована. При \(h\to0\) сила расходится: заряд падает на свой индуцированный минус. Если плоскость не заземлена, а изолирована и незаряжена, изображение чуть сложнее (добавляется однородный заряд), но для бесконечной плоскости разницы нет: ушедший на бесконечность заряд не создаёт поля. Сравнивая с 6.3.32: у шара радиуса \(R\to\infty\) изображение \(q'=-qR/L\to-q\), расстояние между зарядом и изображением \(L-R^2/L\to2h\) — тот же ответ.

Ответ\(F=Q^2/(16\pi\varepsilon_0 h^2)\) к плоскости.

Следующая задача 6.3.29 →