По одну сторону незаряженной металлической плоскости на расстоянии \(h\) — два одинаковых заряда \(Q\), расстояние между ними \(2h\). Сила на каждый?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плоскость \(z=0\). Настоящие заряды в точках \((\pm h,\,0,\,h)\), расстояние между ними \(2h\). Изображения \(-Q\) в \((\pm h,\,0,\,-h)\). Считаем силу на правый заряд \((h,\,0,\,h)\). Обозначим \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\).
1. Второй настоящий заряд в \((-h,\,0,\,h)\). Отталкивание вдоль плоскости, расстояние \(2h\): \[ \mathbf{F}_1=k\frac{Q^2}{4h^2}\,\mathbf{e}_x. \]
2. Своё изображение в \((h,\,0,\,-h)\). Притяжение к плоскости, расстояние \(2h\): \[ \mathbf{F}_2=-k\frac{Q^2}{4h^2}\,\mathbf{e}_z. \]
3. Чужое изображение в \((-h,\,0,\,-h)\). Вектор от заряда к нему \((-2h,\,0,\,-2h)\), расстояние \(2h\sqrt{2}\). Притяжение, модуль \(kQ^2/(8h^2)\), единичный вектор \((-1/\sqrt{2},\,0,\,-1/\sqrt{2})\): \[ F_{3x}=F_{3z}=-k\frac{Q^2}{8\sqrt{2}\,h^2}. \]
Сумма: \[ F_x=k\frac{Q^2}{h^2}\Bigl(\frac14-\frac{1}{8\sqrt{2}}\Bigr),\qquad F_z=-k\frac{Q^2}{h^2}\Bigl(\frac14+\frac{1}{8\sqrt{2}}\Bigr). \] Модуль. Пусть \(\alpha=kQ^2/h^2\). Тогда \[ |F|=\frac{\alpha}{8}\sqrt{\bigl(2-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^2+\bigl(2+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)^2}. \] Под корнем: \(4-2\sqrt{2}+\tfrac12+4+2\sqrt{2}+\tfrac12=9\). Корень равен \(3\), поэтому \[ |F|=\frac{3\alpha}{8}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q^2}{h^2}=\frac{3Q^2}{32\pi\varepsilon_0 h^2}. \] Перекрёстные члены \(\pm2\sqrt{2}\) сократились — поэтому ответ такой круглый. Сила не чисто к плоскости и не чисто вдоль: она под углом к обеим, к ребру «квадрата» из четырёх зарядов.