Две бесконечные проводящие плоскости пересекаются под прямым углом. В области I заряд \(q\) на расстоянии \(l\) от обеих. Есть ли поле в областях II–IV? Сила на заряд?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Область I — первый квадрант, заряд \(q\) в точке \((l,l)\). Чтобы обе полуплоскости стали эквипотенциалями \(\varphi=0\), ставим:
- \(-q\) в \((l,-l)\) — зеркало относительно горизонтальной грани;
- \(-q\) в \((-l,l)\) — зеркало относительно вертикальной;
- \(+q\) в \((-l,-l)\) — «зеркало зеркала», иначе на одной из граней потенциал не занулится.
На обеих гранях \(\varphi=0\) по построению, и теорема единственности фиксирует поле в области I. В областях II–IV стоит металл: свободные заряды экранируют, поля там нет. (Изображения — фиктивные, их «поля» за металлом не существуют.)
Сила на \(q\). Два ближних изображения притягивают: каждое на расстоянии \(2l\), сила \(kq^2/(4l^2)\). Эти две силы перпендикулярны и равны, равнодействующая \[ F_\text{притяж}=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4l^2} \] вдоль биссектрисы к ребру. Дальнее изображение \(+q\) отталкивает вдоль той же биссектрисы, расстояние \(2l\sqrt{2}\), сила \(kq^2/(8l^2)\) от ребра. Итого к ребру: \[ F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,q^2}{4l^2}-\frac{q^2}{8l^2}\Bigr)=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}\cdot\frac{2\sqrt{2}-1}{8}=\frac{q^2(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_0 l^2}. \]