Точечный заряд \(q\) на расстоянии \(L\) от центра изолированного металлического шара радиуса \(R<L\). Полный заряд шара нуль. Чему равен потенциал шара?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шар изолирован и незаряжен: полный заряд на нём нуль. Потенциал шара постоянен — одно число для всех его точек, в том числе для центра.
Потенциал в центре складывается из двух частей.
1. Внешний заряд \(q\) на расстоянии \(L\) даёт \[ \varphi_q=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{L}. \]
2. Индуцированные заряды сидят на поверхности сферы. Каждый кусочек \(dq\) в центре даёт вклад \(k\,dq/R\). Сумма \[ \varphi_{\text{инд}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R}\int dq=\frac{Q_{\text{инд}}}{4\pi\varepsilon_0 R}=0, \] потому что \(Q_{\text{инд}}=0\).
Итого \[ \varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L}. \] Индукция, конечно, есть: плюс \(q\) нагоняет минус на ближнюю сторону шара и плюс на дальнюю. Но эти плюс и минус в центре видны одинаково (оба на расстоянии \(R\)), и их вклады сокращаются. Шар в целом поднят на тот потенциал, который в его центре создал бы один \(q\), будто шара нет.
Если шар заземлить, \(\varphi=0\), и тогда на него натечёт заряд \(Q=-qR/L\) (следующая задача) — как раз чтобы погасить \(kq/L\).