Чему равен заряд, индуцируемый на поверхности заземлённого металлического шара точечным зарядом \(q\), расположенным на расстоянии \(L\) от центра шара? Радиус шара \(R<L\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ищем точечный заряд \(q'\) внутри шара, который вместе с настоящим \(q\) сделает сферу эквипотенциалью нуль. По симметрии \(q'\) лежит на прямой «центр–\(q\)». Пусть он на расстоянии \(d\) от центра. Для любой точки сферы, удалённой на \(R\) от центра, должно быть \[ \frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}=0, \] где \(r\) и \(r'\) — расстояния от этой точки до \(q\) и до \(q'\).
Геометрия подобных треугольников (или прямая подстановка в закон косинусов) даёт единственное решение \[ d=\frac{R^2}{L},\qquad q'=-q\frac{R}{L}. \] Проверка в двух точках. Ближайшая к \(q\) точка сферы: расстояния \(L-R\) и \(R-d=R(1-R/L)\), и \(q/(L-R)+q'/(R-d)=0\). Дальняя: \(L+R\) и \(R+d\), тоже гасится. Значит гасится всюду на сфере.
Поле снаружи шара совпадает с полем пары \(q\) и \(q'\). Индуцированный заряд на сфере равен полному потоку её поля, а снаружи это поле изображения, поэтому \[ Q=q'=-q\frac{R}{L}. \] Знак минус: плюс \(q\) нагоняет на шар минус с земли. Чем ближе \(q\) к поверхности (\(L\to R\)), тем больше натекает, \(Q\to-q\). Чем дальше, тем слабее, \(Q\sim -qR/L\to0\).
Сила на \(q\) — притяжение к изображению: \(F=k|q q'|/(L-d)^2=k q^2 R L/(L^2-R^2)^2\). Нам её не спрашивали, но полезно видеть, что при \(L\to R\) сила расходится (заряд падает на шар), а при \(L\gg R\) сила \(k q^2 R/L^3\) — как у диполя. Полный индуцированный заряд при этом по-прежнему \(-qR/L\).
Заземление существенно. Если шар изолировать с нулевым зарядом, изображение \(q'\) останется, но в центр добавят \(-q'\), чтобы полный заряд был нуль; тогда \(Q=0\), а потенциал шара станет \(kq/L\), как в 6.3.31.