Однородно заряженный положительным зарядом обруч опирается на четыре ролика и может вращаться. Один участок обруча проходит через отверстие, сделанное в параллельных разноимённо заряженных пластинах. По мысли изобретателя, участок обруча, находящийся между пластинами, будет притягиваться к отрицательной пластине и отталкиваться от положительной. Вне пластин поля нет. Таким образом, будет поддерживаться вращение обруча даже при наличии сопротивления движению — получается вечный двигатель. В чём ошибка изобретателя? Докажите, что момент сил, действующий на такой обруч в любом электростатическом поле, равен нулю.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В чём ошибка. Внутри конденсатора поле однородно и направлено к отрицательной пластине. На ту часть обруча, что попала в зазор, действует сила к минусу — да, есть «движущий» момент. Но пластины конечны: у краёв поле выпучивается. Вышедшая наружу дуга обруча попадает в это неоднородное краевое поле, которое направлено так, что тянет её назад, к конденсатору. Этот тормозящий момент в точности равен движущему. Вечного вращения нет, как и не бывает вечного двигателя в консервативном поле.
Доказательство \(M=0\). Возьмём тонкое кольцо радиуса \(R\), линейная плотность \(\lambda=\mathrm{const}\), центр в начале координат, кольцо в своей плоскости. Момент сил относительно центра \[ \mathbf{M}=\oint\mathbf{r}\times(dq\,\mathbf{E})=\lambda\oint\mathbf{r}\times\mathbf{E}\,dl. \] Вращать кольцо вокруг его оси может только касательная к кольцу составляющая силы: нормальные составляющие проходят через ось и момента не дают. Поэтому \[ M=\lambda R\oint E_\tau\,dl. \] Но \(\oint E_\tau\,dl\) — это работа поля при переносе единичного заряда по замкнутому пути (по самому кольцу), а в электростатическом поле работа по любому замкнутому пути равна нулю. Значит \(M=0\). То же на языке энергии: поворот однородно заряженного кольца на любой угол переводит распределение заряда само в себя, энергия взаимодействия с полем не меняется — крутить нечему. Это верно в любом электростатическом поле, не только в поле конденсатора: однородном, неоднородном, с краями и без.
Если заряд по обручу размазан неравномерно, момент уже может быть, и обруч повернётся, пока «тяжёлая» дуга не сядет в минимум потенциала. Однородность заряда здесь существенна.