Из капельницы в полый изолированный шар радиуса \(R\) падают капли радиуса \(r\ll R\), каждой сообщают заряд \(q\). Какая наименьшая высота падения нужна, чтобы шар заполнился водой?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Чтобы заполнить шар водой, нужно \(N=V_{\text{шара}}/V_{\text{капли}}\) капель: \[ N=\frac{\tfrac43\pi R^3}{\tfrac43\pi r^3}=\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^3. \] Каждая несёт заряд \(q\), шар изолирован, весь заряд остаётся на нём. К концу процесса заряд шара \(Q=Nq=q(R/r)^3\), потенциал \[ \varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q R^2}{r^3}. \]
Самые трудные — последние капли: шар уже почти под полным потенциалом, а капля ещё на бесконечности, где \(\varphi=0\). Чтобы добраться до поверхности, ей нужно иметь запас энергии \(q\varphi\) (заряд капли одинаков со знаком заряда шара — отталкивание). Этот запас берётся из гравитации. Отсчитывая высоту \(h\) от центра шара и пренебрегая \(R\) по сравнению с \(h\) (ответ покажет, что \(h\gg R\)), \[ mgh=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\cdot Q}{R}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2 R^2}{r^3}. \] Масса капли \(m=\tfrac43\pi r^3\rho\): \[ \frac43\pi r^3\rho\cdot g\cdot h=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2 R^2}{r^3}, \] \[ h=\frac{3q^2 R^2}{16\pi^2\varepsilon_0\rho g r^6}. \] Коэффициент: \(k\cdot q^2 R^2/r^3\) делим на \(\tfrac43\pi r^3\rho g\), и \(1/(4\pi\varepsilon_0)\cdot 3/(4\pi)=3/(16\pi^2\varepsilon_0)\).
Почему последние капли определяют высоту. Первые падают почти свободно: шар ещё пуст, барьера нет. Капельница стоит на фиксированной высоте, и эта высота должна хватить самой тяжёлой, финальной капле. Промежуточные проходят с запасом.