С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можно зарядить до заряда \(Q\). Затем, через соприкосновение с металлическим же шариком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении на шарик 2 перешёл заряд \(q\). Определите, до какого заряда, многократно повторяя процесс, можно зарядить шарик 2.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим ёмкости шариков \(C_1\) и \(C_2\) (они фиксированы формой и размером, от заряда не зависят). Процесс: шарик 1 каждый раз заряжают до \(Q\) и касаются шарика 2, который уже несёт какой-то заряд с прошлого раза.
Первое касание. Шарик 2 был пуст. После касания суммарный заряд \(Q\) делится пропорционально ёмкостям: \[ q=Q\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}. \] Отсюда нужное отношение \[ \frac{C_2}{C_1}=\frac{q}{Q-q}. \]
Предел. Пусть на втором шарике уже заряд \(Q'\). Приносим первый с зарядом \(Q\), касаемся. После касания \[ Q'_\text{нов}=(Q+Q')\frac{C_2}{C_1+C_2}. \] Стационарность: \(Q'_\text{нов}=Q'\), то есть \[ Q'=(Q+Q')\frac{C_2}{C_1+C_2}\qquad\Rightarrow\qquad Q'C_1=QC_2\qquad\Rightarrow\qquad Q'=Q\frac{C_2}{C_1}. \] Подставляем отношение ёмкостей: \[ Q'=\frac{qQ}{Q-q}. \] Словами: второй шарик больше не принимает заряд, когда его потенциал уже равен потенциалу свежезаряженного первого, \(\varphi=Q/C_1\). Тогда при касании течь некуда.
Заметим \(Q'>q\): каждое следующее касание добавляет всё меньше, но сумма больше первой порции. Если шарики одинаковы, \(q=Q/2\), \(Q'=Q\) — второй в пределе получает столько же, сколько каждый раз носят на первом. Если второй гораздо меньше, \(q\ll Q\), \(Q'\approx q\) — почти ничего сверх первой порции.