Как изменится ёмкость уединённого проводника, если его размеры утроить?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость уединённого проводника по определению \[ C=\frac{Q}{\varphi}, \] где \(\varphi\) — потенциал проводника относительно бесконечности, когда на нём заряд \(Q\).
Потенциал есть интеграл \[ \varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r} \] по поверхности проводника (или, что то же, \(\varphi=\int_\infty^{\text{пов}}E\,dl\)). Увеличим все линейные размеры в три раза, сохранив заряд \(Q\) и форму. Каждое расстояние \(r\) в интеграле умножится на \(3\), распределение \(\sigma\) станет в \(9\) раз реже (\(\sigma'=Q/(9S)=\sigma/9\)), но \(dq=\sigma\,dS\) сохранится как полный заряд. Итог: каждый вклад \(dq/r\) падает втрое, \(\varphi'=\varphi/3\). Следовательно \[ C'=\frac{Q}{\varphi'}=\frac{Q}{\varphi/3}=3C. \]
Короче: в СГС ёмкость уединённого тела измеряется в сантиметрах и просто пропорциональна его размеру. Шар: \(C=R\). Утроили радиус — утроили ёмкость. Для тела любой формы есть коэффициент формы, безразмерный, и \(C=k_{\text{форм}}\cdot L\). Масштаб \(L\times3\) даёт \(C\times3\).
Поле у поверхности при фиксированном \(Q\) падает в \(9\) раз (\(E\sim\sigma/\varepsilon_0\), площадь \(\times9\)), путь интегрирования растёт в \(3\) раза, потенциал падает в \(3\) раза — та же арифметика.