Савченко, задача 6.3.40

Заряд на уединённом проводящем шаре распределён равномерно (симметрия). Снаружи поле такое же, как у точки \(Q\) в центре, \[ E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2},\qquad r\ge R. \] Потенциал относительно бесконечности \[ \varphi=\int_R^\infty E\,dr=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R}. \] Внутри металла поле нуль, потенциал тот же, \(\varphi=Q/(4\pi\varepsilon_0 R)\). По определению ёмкости \[ C=\frac{Q}{\varphi}=4\pi\varepsilon_0 R. \]

В гауссовой системе \(k=1\), \(\varphi=Q/R\), и ёмкость просто равна радиусу: \(C=R\). Отсюда привычка старых книг измерять ёмкость в сантиметрах: шар радиуса \(1\) см имеет ёмкость \(1\) см \(=1{,}11\) пФ.

Это самая маленькая ёмкость среди тел «поперечника» \(R\): у острых и вытянутых тел ёмкость чуть больше (заряд сидит дальше от центра, потенциал при том же \(Q\) ниже). Но порядок всегда \(C\sim4\pi\varepsilon_0 L\).

Откуда берётся определение. Подключить шар к батарее с напряжением \(\varphi\) — на него натечёт заряд \(Q=C\varphi\). Отключить батарею и увеличить радиус: потенциал упадёт (заряд размажется по большей площади), ёмкость вырастет. Энергия заряженного шара \(Q^2/(2C)=Q^2/(8\pi\varepsilon_0 R)\): чем больше шар, тем дешевле хранить тот же заряд. Именно поэтому в задаче 6.3.39 утроение размеров утраивает ёмкость.

Связь с предыдущими задачами. В 6.3.22 шар в оболочке: до заземления \(C=4\pi\varepsilon_0 R_1\), после заземления оболочки \(C=4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2/(R_2-R_1)\) — ёмкость выросла, потенциал при том же \(Q\) упал. В 6.3.31 незаряженный шар во внешнем поле имеет потенциал \(kq/L\), как точка: его «ёмкость относительно бесконечности» по-прежнему \(4\pi\varepsilon_0 R\), просто заряд на нём нуль, и \(\varphi\) задаёт внешний заряд.

Численный якорь: \(4\pi\varepsilon_0=1/k\approx1{,}11\cdot10^{-10}\) Ф/м. Шар радиуса \(1\) м имеет ёмкость \(111\) пФ; шар радиуса \(9\) см — ровно \(10\) пФ. Лабораторные «изолированные шарики» на стержнях — это десятки пикофарад, и их легко перепутать с ёмкостью самого электрометра.