Два одинаковых плоских конденсатора вставлены друг в друга. Вначале все пластины не были заряжены, а затем к ним присоединили источники тока, поддерживающие разность потенциалов \(V_1\) и \(V_2\). Найдите разность потенциалов между внутренними пластинами, разделёнными расстоянием \(a\). Расстояние между пластинами конденсаторов \(d\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Картина такая. Левый конденсатор держит напряжение \(V_1\) на своём зазоре \(d\), правый — \(V_2\) на своём \(d\). Внутренние пластины смотрят друг на друга через зазор \(a\) и образуют ещё один плоский конденсатор. Источники подключены так, что вдоль пути «внешняя левая \(\to\) внутренняя левая \(\to\) внутренняя правая» напряжения \(V_1\) и \(V_2\) складываются: силовые линии, вышедшие с «плюса» одного конденсатора, могут закончиться на «минусе» другого, пройдя средний зазор.
В воздухе \(D=\varepsilon_0 E\), свободного заряда между пластинами нет, поэтому \(E\) в зазоре \(d\) (том, что участвует в цепочке) и в среднем зазоре \(a\) одно и то же. Тогда напряжения пропорциональны зазорам: \[ V_d:V_a=d:a,\qquad V_d+V_a=V_1+V_2. \] Отсюда разность потенциалов между внутренними пластинами \[ \Delta V=V_a=\frac{a}{d+a}(V_1+V_2). \]
Если \(V_2=0\) (правый конденсатор замкнут), остаётся \(\Delta V=a V_1/(d+a)\) — обыкновенный ёмкостный делитель из \(C_d=\varepsilon_0 S/d\) и \(C_a=\varepsilon_0 S/a\).
Пусть \(V_1=120\) В, \(V_2=80\) В, \(a=2\) мм, \(d=1\) мм. Тогда \(\Delta V=2\cdot 200/3\approx 133\) В — больше каждого источника по отдельности, потому что батареи сложили поля в среднем зазоре. При \(a=d\) внутренние пластины делят сумму пополам. Ноль зазора \(a\to 0\) закорачивает середину, как и должно быть.