Расстояние между обкладками плоского конденсатора \(d\). Обкладки соединены друг с другом и заземлены так, как это показано на рисунке. Между обкладками вставлена, параллельно им, пластинка с зарядом \(q\). Какой заряд протечёт по проводнику, соединяющему обкладки, если пластину передвинуть на расстояние \(x\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обкладки соединены и заземлены, значит обе сидят при \(\varphi=0\). Между ними параллельно вставлена тонкая пластинка с зарядом \(q\). Пусть до левой обкладки расстояние \(s\), до правой \(d-s\). Пластинка делит конденсатор на два: \(C_1=\varepsilon_0 S/s\) и \(C_2=\varepsilon_0 S/(d-s)\). Оба вторых вывода заземлены, поэтому заряд \(q\) делится между ними обратно пропорционально зазорам (напряжения на обоих равны потенциалу пластинки \(\varphi=q/(C_1+C_2)\)):
\[ q_1=-q\cdot\frac{C_1}{C_1+C_2}=-q\frac{d-s}{d},\qquad q_2=-q\cdot\frac{C_2}{C_1+C_2}=-q\frac{s}{d}. \]Это те же формулы, что в задаче 6.3.15: индуцированный заряд больше на ближайшей обкладке. Сумма \(q_1+q_2=-q\) — как и должно быть: все силовые линии с пластинки заканчиваются на заземлённых обкладках.
Сдвинем пластинку на \(x\), так что \(s\to s+x\). Новый заряд на левой обкладке \[ q_1'=-q\frac{d-s-x}{d}=q_1+\frac{qx}{d}. \] Значит, по перемычке с правой обкладки на левую перетёк заряд \[ \Delta q=\frac{qx}{d}. \] На правой обкладке заряд уменьшился на ту же величину. От начального положения \(s\) ответ не зависит — только от сдвига.
Пластинка 10 нКл в зазоре 1 см, сдвиг на 1 мм: по перемычке протечёт 1 нКл, и листочек электроскопа дёрнется. От стартового места ответ не зависит — только от \(x/d\). Довести пластинку до обкладки значит перелить весь заряд: ближайшая земля забирает \(q\) целиком, дальняя обнуляется.