На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади \(S\) каждый. При вращении диска лепестки поочерёдно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземлённых контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединённого к конденсатору ёмкости \(C\). После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после \(n\) оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками \(d\) мал по сравнению с размерами лепестка.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Зазор \(d\) мал, поэтому лепесток площади \(S\) между двумя экранирующими обкладками — это два плоских конденсатора параллельно: \[ c_2=\frac{2\varepsilon_0 S}{d}. \] Когда лепесток касается электрода конденсатора \(C\), находясь ещё «в экране», он оказывается параллелен \(C\). Пусть в этот момент напряжение на конденсаторе равно \(V\). После выравнивания на лепестке сидит заряд \(q=c_2 V\).
Контакт с электродом рвётся, лепесток выходит из экрана и входит в зазор второй пары обкладок — теперь он «видит» только одну сторону, его ёмкость относительно электрода падает до \[ c_1=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] Заряд \(c_2 V\) при этом сохраняется, так что потенциал лепестка становится выше, чем \(V\). Повторное касание электрода выравнивает потенциалы уже при ёмкости \(c_1\): суммарный заряд системы «конденсатор + лепесток» равен \(CV+c_2 V\), суммарная ёмкость \(C+c_1\), новое напряжение \[ V'=\frac{(C+c_2)V}{C+c_1}=V\cdot\frac{Cd+2\varepsilon_0 S}{Cd+\varepsilon_0 S}. \]
На диске четыре лепестка, за оборот каждый один раз проделывает эту операцию. После \(n\) оборотов множитель возводится в степень \(4n\): \[ \frac{V}{V_0}=\Biggl(\frac{Cd+2\varepsilon_0 S}{Cd+\varepsilon_0 S}\Biggr)^{4n}. \] Это и есть электрофорная машина: заряд «накачивается» за счёт механической работы по выносу лепестка из экрана.
Стартовали с 10 В, \(C\approx\varepsilon_0 S/d\). За пять оборотов множитель \((3/2)^{20}\approx 3300\), на конденсаторе уже 33 кВ — потолок школьной электрофорной машины. Показатель \(4n\), не \(n\): на диске четыре лепестка, каждый качает раз за оборот. Океан \(C\to\infty\) этим не накачать: множитель садится в единицу.