а. Размеры пластин увеличили в два раза. Как изменилась ёмкость?
б. Как изменится ёмкость, если расстояние между пластинами удвоить? увеличить в \(n\) раз?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ёмкость плоского конденсатора (вывод — в следующей задаче) \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] Поле в зазоре однородно, краевыми эффектами пренебрегаем: \(d\) много меньше поперечного размера пластин.
а. «Размеры пластин увеличили в два раза» — это про линейные размеры \(a\) и \(b\). Площадь \(S=ab\) вырастет в \(2\cdot2=4\) раза. Зазор \(d\) не трогали. Значит, \[ C'=\frac{\varepsilon_0\cdot 4S}{d}=4C: \] ёмкость увеличилась в четыре раза.
Если бы увеличили все размеры, включая зазор, получилось бы иначе: \(S\times4\), \(d\times2\), \(C\times2\). Ёмкость имеет размерность длины, и при подобном растяжении всего конденсатора она растёт пропорционально масштабу. Но в пункте «а» зазор не меняли.
б. Площадь прежняя, зазор удваиваем: \(d\to 2d\). Тогда \(C\to C/2\). Если зазор увеличить в \(n\) раз, \(d\to nd\), \[ C\to\frac{C}{n}. \] Физика простая: при том же заряде поле \(E=\sigma/\varepsilon_0\) не зависит от \(d\), а разность потенциалов \(V=Ed\) растёт вместе с зазором — за тот же \(Q\) «платим» большим \(V\), ёмкость падает.
Растянуть только одну сторону пластины вдвое — площадь \(\times 2\), ёмкость тоже вдвое, не вчетверо. Сенсор телефона ловит изменение \(\sim 5\) пФ, когда палец увеличивает эффективную площадь. Зазор в знаменателе жёстче: микронный люфт на \(d=1\) мм уже даёт процент ухода \(C\), поэтому плоские эталоны ёмкости держат пластины на жёстких прокладках.