а. Определите ёмкость плоского конденсатора, если известна площадь пластин \(S\) и расстояние между ними \(d\).
б. Площадь пластин плоского конденсатора 20 см\(^2\), расстояние между пластинами 3 мм. Определите ёмкость конденсатора в СГС и СИ.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. На обкладках заряды \(\pm Q\), поверхностная плотность \(\sigma=Q/S\). Поле одной бесконечной плоскости равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\), но внутри проводника поле должно быть нуль: вторая плоскость как раз гасит «своё» полупространство и удваивает поле в зазоре. Итого между пластинами \[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}, \] снаружи — почти нуль (краевым полем пренебрегаем).
Поле однородно, поэтому \[ V=\varphi_+-\varphi_-=Ed=\frac{Qd}{\varepsilon_0 S}. \] По определению \(C=Q/V\): \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] В системе СГС та же геометрия даёт \(C=S/(4\pi d)\), и ёмкость измеряется в сантиметрах.
б. \(S=20\) см\(^2=20\) см\(^2\), \(d=3\) мм \(=0{,}3\) см. В СГС \[ C=\frac{S}{4\pi d}=\frac{20}{4\pi\cdot 0{,}3}=\frac{20}{3{,}77}\approx 5{,}3\ \text{см}. \] В СИ: \(S=20\cdot10^{-4}\) м\(^2\), \(d=3\cdot10^{-3}\) м, \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м, \[ C=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 20\cdot10^{-4}}{3\cdot10^{-3}} =5{,}9\cdot10^{-12}\ \text{Ф}=5{,}9\ \text{пФ}. \] Связь единиц: \(1\) см \(_{\text{СГС}}=1{,}11\) пФ, и \(5{,}3\cdot 1{,}11\approx 5{,}9\) пФ — сошлось.
Пробой воздуха \(\sim 30\) кВ/см: зазор 3 мм держит не больше 9 кВ. На наших 5,9 пФ это энергия \(CV^2/2\approx 0{,}24\) мДж — искра слышна, ожога нет. Школьный воздушный конденсатор сидит в пикофарадах не потому, что «ёмкость мала по природе», а потому что \(d\) миллиметровый, а \(S\) — со спичечный коробок.