Площадь обкладок плоского конденсатора \(S\), расстояние между ними \(d\).
а. Как изменится ёмкость конденсатора, если между его обкладками поместить металлическую пластину толщины \(d/3\) и площади \(S\)?
б. Как изменится ёмкость конденсатора, если между его обкладками поместить металлическую пластину той же толщины \(d/3\), но площади \(S'<S\)?
в. Изменится ли ёмкость конденсатора, если эта пластина коснётся одной из обкладок?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Сплошная металлическая пластина толщины \(d/3\) и площади \(S\) вставлена параллельно обкладкам. Внутри металла \(E=0\), поэтому разность потенциалов набирается только на двух воздушных щелях суммарной ширины \[ d_{\text{эфф}}=d-\frac d3=\frac{2d}3. \] Это всё равно что два плоских конденсатора с зазорами, в сумме равными \(2d/3\), соединённых последовательно (заряд на них один и тот же). Итого \[ C'=\frac{\varepsilon_0 S}{2d/3}=\frac32\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac32\,C. \] Ёмкость выросла в полтора раза: часть пути «даровая», металл его не считает.
б. Пластина той же толщины, но площади \(S'<S\). Над площадью \(S'\) работает схема пункта «а», над остатком \(S-S'\) — исходный воздушный конденсатор. Эти два куска стоят рядом и имеют общую разность потенциалов — параллельное соединение: \[ C'=\frac{\varepsilon_0 S'}{2d/3}+\frac{\varepsilon_0(S-S')}{d} =C\Bigl(\frac{3S'}{2S}+\frac{S-S'}{S}\Bigr) =C\Bigl(1+\frac{S'}{2S}\Bigr). \] При \(S'=S\) возвращаемся к \(1{,}5\,C\); при \(S'=0\) — к исходному \(C\).
в. Пластина коснулась одной обкладки. Металл стал просто утолщением этой обкладки: зазор \(d/3\) «приклеился» к проводнику и исчез из игры. Эффективный воздушный зазор снова \(2d/3\), ёмкость та же, что в пункте «а». Касание ничего не меняет относительно уже вставленной сплошной пластины.
Фольга 0,1 мм в зазоре 1 мм «съедает» только десятую воздуха: \(C\) растёт на 11 %, а не в полтора раза. Полтора получается только при толщине \(d/3\), как в условии. Касание обкладки не добавляет этой десятой — металл и так эквипотенциаль, приклеивать его незачем. Весь зазор металлом — уже короткое замыкание, \(C\to\infty\).