Определите ёмкость конденсатора, образованного двумя концентрическими сферами радиуса \(R_1\) и \(R_2\) (сферический конденсатор).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть на внутренней сфере заряд \(+Q\), на внешней \(-Q\). По теореме Гаусса поле есть только в зазоре \(R_1<r<R_2\): \[ E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \] внутри металла обеих сфер \(E=0\), снаружи вся система нейтральна и поле тоже нуль.
Разность потенциалов \[ V=\int_{R_1}^{R_2}E\,dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r^2} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\Bigr) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{R_2-R_1}{R_1 R_2}. \] Ёмкость \[ C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1 R_2}{R_2-R_1}. \] (В условии внутренний радиус \(R_1\), внешний \(R_2\). Если в задачнике стоят \(a\) и \(b\), формула та же.)
Численно: сферы \(R_1=5\) см, \(R_2=6\) см дают \(C=4\pi\varepsilon_0\cdot 0{,}05\cdot0{,}06/0{,}01\approx 33\) пФ — втрое больше уединённого шара того же радиуса (\(4\pi\varepsilon_0 R_1\approx 5{,}6\) пФ). Близкие обкладки сильно поднимают ёмкость, в этом и смысл конденсатора.
Шар Ван-де-Граафа радиуса 20 см сам по себе 22 пФ. Надеть на него оболочку с зазором 1 см — \(C=4\pi\varepsilon_0\cdot 0{,}20\cdot 0{,}21/0{,}01\approx 470\) пФ, в двадцать раз больше. Близкая вторая сфера «приближает бесконечность», и в этом весь выигрыш сферического конденсатора против уединённого шара.