Ёмкость сферического конденсатора, если между обкладками поместить проводящий сферический слой толщины \(d<R_2-R_1\). Внешний радиус слоя \(R_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Слой толщины \(d\) с внешним радиусом \(R_0\) занимает область \(R_0-d\le r\le R_0\). Внутри металла слоя поле нуль, поэтому этот кусок «выпадает» из интеграла для \(V\). Остаются два воздушных промежутка, и через оба идёт один и тот же заряд \(\pm Q\) — последовательное соединение.
Ёмкость внутреннего конденсатора (сферы \(R_1\) и \(R_0-d\)) \[ C_1=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1(R_0-d)}{(R_0-d)-R_1}, \] внешнего (сферы \(R_0\) и \(R_2\)) \[ C_2=4\pi\varepsilon_0\frac{R_0 R_2}{R_2-R_0}. \] Последовательное соединение: \(1/C=1/C_1+1/C_2\). Удобнее сразу сложить разности \(1/R\): \[ V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{R_1}-\frac1{R_0-d}+\frac1{R_0}-\frac1{R_2}\Bigr), \] откуда \[ C=4\pi\varepsilon_0\Biggl(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}-\frac{d}{R_0(R_0-d)}\Biggr)^{-1}. \] Слой «украл» кусок \(d/[R_0(R_0-d)]\) из скобки \(1/R_1-1/R_2\), и ёмкость стала больше исходной — как и у плоского конденсатора с металлической вставкой.
Слой 2 мм при \(R_0=5{,}5\) см между сферами 5 и 6 см крадёт из скобки \(d/[R_0(R_0-d)]\approx 0{,}70\) м\(^{-1}\) при исходных \(1/R_1-1/R_2=3{,}3\) м\(^{-1}\). Ёмкость растёт примерно на 25 % — тот же мотив, что пластина в плоском зазоре, только в \(1/r\)-метрике. Тонкий слой \(d\to 0\) крадёт нуль, касание внутренней сферы выключает внутренний конденсатор целиком.